平面上两点间的距离【学习导航】 知识网络 学习要求 1．掌握平面上两点间的距离公式、中点坐标公式；2．能运用距离公式、中点坐标公式解决一些简单的问题．【课堂互动】自学评价（1）平面上两点之间的距离公式为 ．（2）中点坐标公式：对于平面上两点，线段的中点是，则．【精典范例】例 1：（1）求 A(-1,3)、B（2，5）两点之间的距离；（2）已知 A（0，10），B（a，-5）两点之间的距离为 17，求实数 a 的值．【 解 】 (1) 由 两 点 间 距 离 公 式 得 AB=(2) 由两点间距离公式得,解得 a=． 故所求实数 a 的值为 8 或-8．例 2 ： 已 知 三 角 形的 三 个 顶 点，试判断的形状．分析：计算三边的长，可得直角三角形．【解】, ，∴为直角三角形.点评：本题方法多样，也可利用、斜率乘积为-1，得到两直线垂直.例 3 ： 已 知的 顶 点 坐 标 为，求边上的中线的长和所在的直线方程．分析：由中点公式可求出中点坐标,分别用距离公式、两点式就可求出的长和所在的直线方程．【 解 】 如 图 ， 设 点． 点是 线 段的中点，∴，即的坐标为．由两点间的距离公式得．因此，边上的中线的长为．由两点式得中线所在的直线方程为，即．点评:本题是中点坐标公式、距离公式的简单应中点坐标 用.例 4．已知是直角三角形，斜边的中点为，建立适当的直角坐标系，证明：．证 ： 如 图 ， 以的直角 边所在直线为坐标轴，建立适当的直角坐标系，设两 点 的坐标分别为， 是的中点，∴ 点的 坐 标 为， 即．由两点间的距离公式得所以，．追踪训练一1.式子可以理解为()两点(a,b)与(1,-2)间的距离 两点(a,b)与(-1,2)间的距离两点(a,b)与(1,2)间的距离两点(a,b)与(-1,-2)间的距离2.以 A(3,-1), B(1,3)为端点的线段的垂直平分线的方程为 ()2x+y-5=0 2x+y+6=0 x-2y=0 x-2y-8=03. 线段 AB 的中点坐标是(-2,3),又点 A 的坐标是(2,-1),则点 B 的坐标是．4 ． 已 知 点， 若 点在 直 线上，求取最小值．解 : 设点 坐 标 为, 在 直 线上，∴，，∴的最小值为．【选修延伸】对称性问题 例 5: 已 知 直 线， （ 1 ） 求 点关于 对称的点；（2）求 关于点对称的直线方程．分析：由直线 垂直平分线段，可设，有垂直关系及中点坐标公式可求出点；而关于点对称的直线必平行，因此可求出对称的直线方程．【解】（1）设，由于⊥ ，且中点在 上，有，解得 ∴（...
