高二数学 §2.1.1不等式的证明(1)学案 新人教A版选修4-5

§2.1.1 不等式的的证明(1)比较法☆学习目标： 1. 理解并掌握证明不等式的基本方法---比较法; 2. 了解琴生不等式的及其背景奎屯王新敞新疆☻知识情景： 1．绝对值三角不等式： 定理 1 如果 ,a bR, 那么||||||abab. 当 且仅当 时, 等号成立. 定理 2 如果 , ,a b cR , 那么|||| ||a ca bb c. 当且仅当 时, 等号成立.2. 含绝对值不等式的解法：设a 为正数, 则 10.( )f xa; 20.( )f xa;30. 设0ba, 则( )af xb.3．实数大小必较法则：0baba 0baba 0baba☆案例学习： 例 1 设ba ，求证：)(2322babba. 例 2 若实数1x，求证：.)1()1(32242xxxx例 3 已知,, Rba求证.abbababa 例 4 甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点。甲有一半时间以速度1v 行走，另一半时1 间以速度2v 行走；乙有一半路程以速度1v 行走，另一半路程以速度2v 行走. 如果12vv， 问甲、乙两人谁先到达指定地点. 例 5 设.1,0,12)(2qppqxxf 求证；对任意实数ba,，恒有).()()(qbpafbqfapf “欲穷千里目,更上一层楼.” 10. 在例 5 中, 0,10,0.pqpqpq 特别地, 令11,22pq , 则得 ()22f 再结合函数的图象, 这数和形 20.琴生在 1905 年给出了一个定义：设函数)(xf定义域为[ , ]a b ，如果12,[ , ]x xa b，都有 ()22f （1）则称)(xf为[ , ]a b 上的下凸函数. 若把(1)式的不等号反向，则称)(xf为[ , ]a b 上的 函数.30. 其推广形式是：若函数)(xf的是[ , ]a b 上的下凸函数，则12,,,[ , ]nx xxa b，都有 ()fnn （2） 2 当且仅当nxxx21时等号成立. 一般称（2）式为琴生不等式.40.琴生不等式推广形式：设1,,,,2121nnqqqRqqq，)(xf是[ , ]a b 上的下凸函数， 则 12,,,[ , ]nx xxa b都有：1 122()nnf q xq xq x， 当且仅当nxxx21时 .若)(xf是上凹函数，则上述不等式反向. 把琴生不等式应用于一些具体的函数，可以推出许多著名不等式.选修 4-5 练习 §2.1.1 不等式的的证明(1)比较法 姓名 1、比较下面各题中两个代数式值的大小：（1）2x 与12 xx； （2）12 xx与2)1( x. 2、已知.1a 求证：（1）;122 aa （2）.1122  aa3、若0...