平衡问题探骊 1、1 专题专题 33 平衡问题探骊平衡问题探骊文/沈晨教你一手物体平衡的种类依略微偏离平衡位置后是否能在原位置保持平衡而分为稳定平衡与不稳定平衡,能在随机位置保持平衡的则称随遇平衡.掌握物体的不同平衡态势,增大物体平衡的稳度是好玩又有实际意义的事.怎样甄别物体平衡的种类呢?以处于重力场的物体在重力和支持力作用下的平衡为例,一般操作步骤是:1.设计一个元过程,即设想对物体施一微扰,使之稍偏离原平衡位置;2.从能量角度考察受扰动后物体质心位置的高度改变,依据质心是升高、降低还是不变来推断物体原来是稳定平衡、不稳定平衡或是随遇平衡;或从受力角度考察受扰动后重力作用点的侧移量,即重力对扰动后新支点 2、的力臂,从而推断物体原来的平衡态属于哪一种.这里,仅是问题切入的视角不同,但殊途同归,结论是一致的,故可依问题的具体状况,择简而从;3.为比较扰动前后物体的受力与态势,要做出直观明晰的图示;由于对微扰元过程作的是“低详情”的描述,故常需运用合理的近似这一数学处理手段.例1如图 3-1所示,一个熟鸡蛋的圆、尖两端的曲率半径分别为a、b,且长轴的长度为l,蛋圆的一端可以在不光滑的水平面上稳定直立.求蛋尖的一端可以在一个半球形的碗内稳定地直立时,碗的半径r需满足的条件.图 3-1分析与解因蛋圆一端在水平面上可处于稳定平衡态,可知蛋的质心位置 C 应在图 3-1中 A 点之下,设其距蛋尖顶点为 R,则 3、R>l-a.现将蛋尖端直立于半径为r的球形碗底 M 点处,如图 3-2中实线所示,设想当蛋尖外缘沿碗偏转过一小段弧长,则 2 蛋在图 3-2中虚线所示位置.该图中,C 为蛋的质心,偏转后的质心位置在C′,O为碗球心,α、β 分别是弧长所对蛋尖圆和碗球的圆心角,即=r β=b α,其他几何关系如下图.图 3-2解法一考察质心位置高低改变要满足蛋尖端在球形碗内有稳定平衡,应证明图 3-2 中的C′位置高于 C 位置,即需满足C′M′cos〔α-β〕+NM(α-β/2)>CM,在微扰的状况下,α、β 都是小量,故有如下很好的近似Rcos〔α-β〕+rβ(α-β/2)>R,即rβ(α-β/2)>R[ 4、1-cos〔α-β〕]=2Rsin 2(α-β/2).利用小角度的状况下,sin α≈α,sin β≈β,且留意到r β=b α,则有rβ(α-β/2...