高二数学素材：抛物线中的定点弦问题

抛物线中一类定点弦问题摘 要：抛物线是圆锥曲线中较为特殊的一种曲线。焦点弦、定点弦等是圆锥曲线中常见的一类问题。利用向量的知识解决解析几何问题是新课程，新教材所赋予的新解法。关键词：抛物线，定点，垂直，通径 定理 1：已知 EF 是与抛物线 C：)0(22ppxy相交的一条动直线，AB 是抛物线的通径 ，A（p/2,p）,B(p/2,-p) （1）当0AFEA，其中0AFEA时，直线 EF 过定点 M（5p/2,-p） （2）当0BFEB，其中0AFEA时，直线 EF 过定点 N（5p/2, p） 定理 2：（1）若抛物线 C：pxy22 （p>0）的一条动直线过 M（5p/2,-p），与抛物线交于 E,F 两点，点 A 是抛物线通径的一个端点坐标为（p/2,p），则必有： 0AFEA （2）若抛物线 C：pxy22 （p>0）的一条动直线过 N（5p/2,p），与抛物线交于 E,F 两点，点 B是抛物线通径的一个端点坐标为（p/2,-p），则必有： 0BFEB 先证明定理 1， 证明：由题意可设： 直线 AE 的方程为：)2(pxkpy ① 直线 AF 的方程为：)2(1pxkpy ② 由直线 AE 的方程和抛物线 C 的方程)0(22ppxy联立： )2(pxkpy pxy22  解之得：E 点坐标为（2222pkppk,pkp 2）, A（p/2,p） 由直线 AF 的方程和抛物线 C 的方程)0(22ppxy联立： )2(1pxkpy用心 爱心 专心 pxy22  解之得：F 点坐标为（2222pkppk,pkp  2）, A（p/2,p） 则(E M,2222pkppkkp2)， (F M,2222pkppk-2kp) 又因为 （pkppk2222）*（-2kp）=222444kpppk (pkppk2222)* kp2=222444kpppk 所以 （pkppk2222）*（-2kp）= (pkppk2222)* kp2 所以 EM//FM 又EM与FM 共点 M 所以 M , E , F 三点共线。即直线 EF 过定点 M（5p/2,-p）。 同理，可证明（2）也成立。定理 2 可看成定理 1 的逆定理。下证之： 证明：由题意知过点 M 的直线与抛物线交与两点，所以直线不平行于 x 轴。 可设直线方程为： )(25pympx (m∈R) 与抛物线方程联立构成方程组 )(25pympx pxy22  消去 x 得 y2=2pmy+2mp2+5p2 移项得 y2 — 2pmy —2mp2 —5p2 =0 解之得 y1=pm + p522 mm y2= pm — p522 mm 带入解得 X 1= pm2 + pm522 mm+ mp + 25p 用心 爱心 专心 X2= pm2 —pm522 mm+ mp + 25...