高考数学 函数问题的题型与方法素材

函数问题的题型与方法一、函数的概念函数有二种定义，一是变量观点下的定义，一是映射观点下的定义．复习中不能仅满足对这两种定义的背诵，而应在判断是否构成函数关系，两个函数关系是否相同等问题中得到深化，更应在有关反函数问题中正确运用．具体要求是：1．深化对函数概念的理解，明确函数三要素的作用，并能以此为指导正确理解函数与其反函数的关系．2．系统归纳求函数定义域、值域、解析式、反函数的基本方法．在熟练有关技能的同时，注意对换元、待定系数法等数学思想方法的运用．3．通过对分段定义函数，复合函数，抽象函数等的认识，进一步体会函数关系的本质，进一步树立运动变化，相互联系、制约的函数思想，为函数思想的广泛运用打好基础．本部分的难点首先在于克服“函数就是解析式”的片面认识，真正明确不仅函数的对应法则，而且其定义域都包含着对函数关系的制约作用，并真正以此作为处理问题的指导．其次在于确定函数三要素、求反函数等课题的综合性，不仅要用到解方程，解不等式等知识，还要用到换元思想、方程思想等与函数有关概念的结合．Ⅰ 深化对函数概念的认识例 1．下列函数中，不存在反函数的是 （ ） 分析：处理本题有多种思路．分别求所给各函数的反函数，看是否存在是不好的，因为过程太繁琐．从概念看，这里应判断对于给出函数值域内的任意值，依据相应的对应法则，是否在其定义域内都只有惟一确定的值与之对应，因此可作出给定函数的图象，用数形结合法作判断这是常用方法。此题作为选择题还可采用估算的方法．对于 D，y=3 是其值域内一个值，但若 y=3，则可能 x=2(2＞1)，也可能 x=-1(-1≤-1)．依据概念，则易得出 D 中函数不存在反函数．于是决定本题选 D．说明：不论采取什么思路，理解和运用函数与其反函数的关系是这里解决问题的关键．由于函数三要素在函数概念中的重要地位，那么掌握确定函数三要素的基本方法当然成了函数概念复习中的重要课题．例 1．（重庆市）函数)23(log21xy的定义域是（ D ）A、[1,) B、23( ,) C、23[ ,1] D、23( ,1]例 2．（天津市）函数123xy（01x）的反函数是（ D A、)31(log13xxyB、)31(log13xxy用心 爱心 专心1C、)131(log13xxy D、)131(log13xxy也有个别小题的难度较大，如 例 3．（北京市）函数,,( ),,x xPf xx xM其中 P、M 为实数集 R 的两个非空子集，又规定f P...