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高考数学 考点突破——不等式:基本不等式学案-人教版高三全册数学学案

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基本不等式【考点梳理】1.基本不等式≤(1)基本不等式成立的条件:a >0 , b >0 .(2)等号成立的条件:当且仅当 a = b .2.几个重要的不等式(1)a2+b2≥2 ab (a,b∈R);(2)+≥2(a,b 同号且不为零);(3)ab≤2(a,b∈R);(4)2≤(a,b∈R).3.算术平均数与几何平均数设 a>0,b>0,则 a,b 的算术平均数为,几何平均数为,基本不等式可叙述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.4.利用基本不等式求最值问题已知 x>0,y>0,则(1)如果 xy 是定值 p,那么当且仅当 x=y 时,x+y 有最小值是 2(简记:积定和最小).(2)如果 x+y 是定值 q,那么当且仅当 x=y 时,xy 有最大值是(简记:和定积最大).【考点突破】考点一、配凑法求最值【例 1】(1)若 x<,则 f(x)=4x-2+的最大值为________.(2)函数 y=的最大值为________.[答案] (1) 1 (2) [解析] (1)因为 x<,所以 5-4x>0,则 f(x)=4x-2+=-+3≤-2+3=-2+3=1.当且仅当 5-4x=,即 x=1 时,等号成立.故 f(x)=4x-2+的最大值为 1.(2)令 t=≥0,则 x=t2+1,所以 y==.当 t=0,即 x=1 时,y=0;当 t>0,即 x>1 时,y=,因为 t+≥2=4(当且仅当 t=2 时取等号),所以 y=≤,即 y 的最大值为(当 t=2,即 x=5 时 y 取得最大值).【类题通法】1.应用基本不等式解题一定要注意应用的前提:“一正”“二定”“三相等” .所谓“一正”是指正数,“二定”是指应用基本不等式求最值时,和或积为定值,“三相等”是指满足等号成立的条件.2.在利用基本不等式求最值时,要根据式子的特征灵活变形,配凑出积、和为常数的形式,然后再利用基本不等式.【对点训练】1.若函数 f(x)=x+(x>2)在 x=a 处取最小值,则 a 等于( )A.1+ B.1+ C.3 D.4[答案] C[解析] 当 x>2 时,x-2>0,f(x)=(x-2)++2≥2+2=4,当且仅当 x-2=(x>2),即x=3 时取等号,即当 f(x)取得最小值时,即 a=3,选 C.2.函数 y=(x>1)的最小值为________.[答案] 2+2[解析] y====(x-1)++2≥2+2.当且仅当 x-1=,即 x=+1 时,等号成立.考点二、常数代换或消元法求最值【例 2】(1)已知 x,y 均为正实数,且+=,则 x+y 的最小值为( )A.24 B.32 C.20 D.28(2)已知 x>0,y>0,x+3y+xy=9,则 x+3y 的最小值为________.[答案] (1) C (2) 6[解析] (1) x,y ...

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