空间向量及其运算【考点梳理】1．空间向量的有关概念名称定义空间向量在空间中，具有大小和方向的量相等向量方向相同且模相等的向量相反向量方向相反且模相等的向量共线向量(或平行向量)表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量共面向量平行于同一个平面的向量2．空间向量的有关定理(1)共线向量定理：对空间任意两个向量 a，b(b≠0)，a∥b 的充要条件是存在实数 λ，使得 a ＝ λ b .(2)共面向量定理：如果两个向量 a，b 不共线，那么向量 p 与向量 a，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使 p＝x a ＋ y b .(3)空间向量基本定理：如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对空间任一向量 p，存在有序实数组{x，y，z}，使得 p＝x a ＋ y b ＋ z c ，其中，{a，b，c}叫做空间的一个基底.3．空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念① 两向量的夹角已知两个非零向量 a，b，在空间任取一点 O，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB 叫做向量 a 与 b的夹角，记作〈a，b〉，其范围是[0 ， π ] ，若〈a，b〉＝，则称 a 与 b 互相垂直，记作 a⊥b.② 非零向量 a，b 的数量积 a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.(2)空间向量数量积的运算律：① 结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；② 交换律：a·b＝b·a；③ 分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.4．空间向量的坐标表示及其应用设 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).向量表示坐标表示数量积a·ba1b1＋ a 2b2＋ a 3b3共线a＝λb(b≠0，λ∈R)a1＝ λb 1， a 2＝ λb 2， a 3＝ λb 3垂直a·b＝0(a≠0，b≠0)a1b1＋ a 2b2＋ a 3b3＝ 0 模|a|夹角〈a，b〉(a≠0，b≠0)cos〈a，b〉＝【考点突破】考点一、空间向量的线性运算【例 1】如图所示，在空间几何体 ABCD－A1B1C1D1中，各面为平行四边形，设AA1＝a，AB＝b，AD＝c，M，N，P 分别是 AA1，BC，C1D1的中点，试用 a，b，c 表示以下各向量：(1)AP；(2)MP＋NC1.[解析] (1)因为 P 是 C1D1的中点，所以AP＝AA1＋A1D1＋D1P＝a＋AD＋D1C1＝a＋c＋AB＝a＋c＋b.(2)因为 M 是 AA1的中点，所以MP＝MA＋AP＝A1A＋AP＝－a＋＝a＋b＋c.又NC1＝NC＋CC1＝BC＋AA1＝AD＋AA1＝c＋a，所以MP＋NC1＝＋＝a＋b＋c.【类题通法】1．选定空间不共面的三个向量作基向量，这是用向量解决立体几何问题的基本要求.用已知基向量表示指定向量时，应结合已知和所求向量观察图形，将已知向量和未知向量转...
