高考数学 考点突破——平面向量：平面向量的概念及线性运算学案-人教版高三全册数学学案

平面向量的概念及线性运算【考点梳理】1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度 ( 或模 ) ．(2)零向量：长度为 0 的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于 1 个单位 的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：0 与任一向量平行．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求 a 与 b 的相反向量－b 的和的运算叫做 a 与 b的差三角形法则a－b＝a＋(－b)数乘求实数 λ 与向量 a 的积的运算(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当 λ>0 时，λa 的方向与 a 的方向相同；当 λ<0 时，λa 的方λ(μa)＝λμa；(λ＋μ)a＝λa＋μa；向与 a 的方向相反；当λ＝0 时，λa＝0λ(a＋b)＝λa＋λb3.共线向量定理向量 a(a≠0)与 b 共线的充要条件是存在唯一一个实数 λ，使得 b＝λa.【考点突破】考点一、平面向量的有关概念【例 1】给出下列四个命题：① 若|a|＝|b|，则 a＝b；② 若 A，B，C，D 是不共线的四点，则“AB＝DC”是“四边形 ABCD 为平行四边形”的充要条件；③ 若 a＝b，b＝c，则 a＝c；④a＝b 的充要条件是|a|＝|b|且 a∥b.其中正确命题的序号是( )A．②③ B．①② C．③④ D．②④[答案] A[解析] ① 不正确.两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同.② 正确. AB＝DC，∴|AB|＝|DC|且AB∥DC，又 A，B，C，D 是不共线的四点，∴四边形ABCD 为平行四边形；反之，若四边形 ABCD 为平行四边形，则|AB|＝|DC|，AB∥DC且AB，DC方向相同，因此AB＝DC.③ 正确. a＝b，∴a，b 的长度相等且方向相同，又 b＝c，∴b，c 的长度相等且方向相同，∴a，c 的长度相等且方向相同，故 a＝c.④ 不正确.当 a∥b 且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到 a＝b，故|a|＝|b|且 a∥b不是 a＝b 的充要条件，而是必要不充分条件.综上所述，正确命题的序号是②③.【类题通法】1.相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.2.共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.3.向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.解题时，不要把它与函数图象的移动混为一谈.4.非零向量 a 与的关系：是与 ...