平面向量的数量积【考点梳理】1．平面向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量 a 和 b，它们的夹角为 θ，则数量|a||b|cos θ 叫做 a 与 b的数量积(或内积)．规定：零向量与任一向量的数量积为 0.(2)几何意义：数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos θ 的乘积．2．平面向量数量积的运算律(1)交换律：a·b＝b·a；(2)数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；(3)分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.3．平面向量数量积的性质及其坐标表示设非零向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ＝〈a，b〉.结论几何表示坐标表示模|a|＝|a|＝数量积a·b＝|a||b|cos θa·b＝x1x2＋y1y2夹角cos θ＝cos θ＝a⊥ba·b＝0x1x2＋ y 1y2＝ 0 |a·b|与|a||b|的关系|a·b|≤|a||b||x1x2＋y1y2|≤·【考点突破】考点一、平面向量数量积的运算【例 1】(1)已知△ABC 是边长为 1 的等边三角形，点 D，E 分别是边 AB，BC 的中点，连接DE 并延长到点 F，使得 DE＝2EF，则AF·BC的值为( )A．－ B． C． D．(2)已知点 P 在圆 x2＋y2＝1 上，点 A 的坐标为(－2，0)，O 为原点，则AO·AP的最大值为________.[答案] (1)B (2) 6[解析] (1)如图所示，AF＝AD＋DF.又 D，E 分别为 AB，BC 的中点，且 DE＝2EF，所以AD＝AB，DF＝AC＋AC＝AC，所以AF＝AB＋AC.又BC＝AC－AB，则AF·BC＝·(AC－AB)＝AB·AC－AB2＋AC2－AC·AB＝AC2－AB2－AC·AB.又|AB|＝|AC|＝1，∠BAC＝60°，故AF·BC＝－－×1×1×＝.故选 B.(2)设 P(cos α，sin α)，∴AP＝(cos α＋2，sin α)，∴AO·AP＝(2，0)·(cos α＋2，sin α)＝2cos α＋4≤6，当且仅当 cos α＝1 时取等号.【类题通法】1.求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义.2.解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时，可先利用向量的加减运算或数量积的运算律化简再运算.但一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补.【对点训练】1．线段 AD，BE 分别是边长为 2 的等边三角形 ABC 在边 BC，AC 边上的高，则AD·BE＝( )A．－ B．C．－ D．[答案] A[解析] 由等边三角形的性质得|AD|＝|BE|＝，〈AD，BE〉＝120°，所以AD·BE＝|AD||BE|cos〈AD，BE〉＝××＝－，故选 A.2．已知正方形 ABCD 的边长为 1，点 E 是 AB 边上的动点，则DE·CB的值为________；DE·DC的最大值为_______...
