不等式的证明【考点梳理】1.基本不等式定理 1:设 a,b∈R,则 a2+b2≥2ab,当且仅当 a=b 时,等号成立.定理 2:如果 a,b 为正数,则≥,当且仅当 a=b 时,等号成立.定理 3:如果 a,b,c 为正数,则≥,当且仅当 a=b=c 时,等号成立.定理 4:(一般形式的算术—几何平均不等式)如果 a1,a2,…,an为 n 个正数,则≥,当且仅当 a1=a2=…=an时,等号成立.2.不等式证明的方法(1)比较法是证明不等式最基本的方法,可分为作差比较法和作商比较法两种.名称作差比较法作商比较法理论依据a>b⇔a - b > 0 a<b⇔a - b < 0 a=b⇔a - b = 0 b>0,>1⇒a>b b<0,>1⇒a<b(2)综合法与分析法① 综合法:利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质,推导出所要证明的不等式,这种方法叫综合法.即“由因导果”的方法.② 分析法:从求证的不等式出发,分析使这个不等式成立的充分条件,把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题,如果能够肯定这些充分条件都已经具备,那么就可以判定原不等式成立,这种方法叫作分析法.即“执果索因”的方法.【考点突破】考点一、比较法证明不等式【例 1】设 a,b 是非负实数,求证:a2+b2≥(a+b).[解析] 因为 a2+b2-(a+b)=(a2-a)+(b2-b)=a(-)+b(-)=(-)(a-b)=.因为 a≥0,b≥0,所以不论 a≥b≥0,还是 0≤a≤b,都有与同号,所以≥0,所以 a2+b2≥(a+b).【类题通法】作差比较法证明不等式的步骤(1)作差;(2)变形;(3)判断差的符号;(4)下结论.其中“变形”是关键,通常将差变形成因式连乘积的形式或平方和的形式,再结合不等式的性质判断出差的正负.【对点训练】已知 a>0,b>0,求证:+≥+.[解析] 法一 因为+-(+)==, a>0,b>0,∴>0.因此+≥+.法二 由于===-1≥-1=1.又 a>0,b>0,>0,所以+≥+.考点二、综合法证明不等式【例 2】已知函数 f(x)=+,M 为不等式 f(x)<2 的解集.(1)求 M;(2)证明:当 a,b∈M 时,|a+b|<|1+ab|.[解析] (1)f(x)=当 x≤-时,由 f(x)<2 得-2x<2,解得 x>-1,所以-1