曲线与方程【考点梳理】1．曲线与方程的定义一般地，在直角坐标系中，如果某曲线 C 上的点与一个二元方程 f(x，y)＝0 的实数解建立如下的对应关系：那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线.2．求动点的轨迹方程的基本步骤【考点突破】考点一、直接法求轨迹方程【例 1】已知△ABC 的顶点 B(0，0)，C(5，0)，AB 边上的中线长|CD|＝3，则顶点 A 的轨迹方程为________.[答案] (1) A (2) (2，2)[解析] 设 A(x，y)，由题意可知 D.又 |CD|＝3，∴＋＝9，即(x－10)2＋y2＝36，由于 A，B，C 三点不共线，∴点 A 不能落在 x 轴上，即 y≠0，∴点 A 的轨迹方程为(x－10)2＋y2＝36(y≠0).【类题通法】直接法求轨迹方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，要注意翻译的等价性．通常将步骤简记为建系设点、列式、代换、化简、证明这五个步骤，但最后的证明可以省略，如果给出了直角坐标系则可省去建系这一步，求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性．【对点训练】在平面直角坐标系 xOy 中，点 B 与点 A(－1，1)关于原点 O 对称，P 是动点且直线 AP 与BP 的斜率之积等于－，则动点 P 的轨迹方程为________________．[答案] x2＋3y2＝4(x≠±1)[解析] 因为点 B 与点 A(－1，1)关于原点 O 对称，所以点 B 的坐标为(1，－1)．设点 P 的坐标为(x，y)，由题意得·＝－，化简得 x2＋3y2＝4(x≠±1)，故动点 P 的轨迹方程为 x2＋3y2＝4(x≠±1)．考点二、相关点(代入)法求轨迹方程【例 2】设 F(1,0)，M 点在 x 轴上，P 点在 y 轴上，且MN＝2MP，PM⊥PF，当点 P 在 y 轴上运动时，求点 N 的轨迹方程．[解析] 设 M(x0,0)，P(0，y0)，N(x，y)， PM⊥PF，PM＝(x0，－y0)，PF＝(1，－y0)，∴(x0，－y0)·(1，－y0)＝0，∴x0＋y＝0.由MN＝2MP，得(x－x0，y)＝2(－x0，y0)，∴即∴－x＋＝0，即 y2＝4x.故所求的点 N 的轨迹方程是 y2＝4x.【类题通法】代入法求轨迹方程的四个步骤(1)设出所求动点坐标 P(x，y)．(2)寻找所求动点 P(x，y)与已知动点 Q(x′，y′)的关系．(3)建立 P，Q 两坐标间的关系，并表示出 x′，y′. (4)将 x′，y′代入已知曲线方程中化简求解．【对点训练】如图，已知 P 是椭圆＋y2＝1 上一点，PM⊥x 轴于点 M.若PN＝λNM.(1)求 N 点的轨迹方程；(2)当 N 点的轨迹为圆时，求 λ 的值．[解析] (1)设点 P，点 N...
