教学内容：平面向量（2）教学目标：1 平面向量的概念及线性运算2.平面向量的数量积3.平面向量与三角函数综合应用教学重点：平面向量的数量积和平面向量与三角函数综合应用教学难点：平面向量与三角函数综合应用教学过程：一、基础训练1、(2014·宁波模拟)梯形 ABCD 中，AB∥CD，AB＝2CD，M，N 分别是 CD，AB 的中点，设AB＝a，AD＝b.若MN＝ma＋nb，则＝________.解析： MN＝MD＋DA＋AN＝－a－b＋＝a－b，∴m＝，n＝－1.∴＝－4.答案：－42．在△ABC 中，AB＝2，AC＝3，AB·BC＝1，则 BC＝________.解析： AB·BC＝1，且 AB＝2，∴1＝|AB|·|BC|cos(π－B)，∴|AB|·|BC|cos B＝－1.在△ABC 中，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos B，即 9＝4＋BC2－2×(－1)．∴BC＝.答案：3．(2014·武汉质检)已知平面上不共线的四点 O，A，B，C.若OA＋2OC＝3OB，则的值为__________．解析：由OA＋2OC＝3OB，得OA－OB＝2OB－2OC，即BA＝ 2CB，所以＝.答案：4．(2013·高考山东卷)已知向量AB与AC的夹角为 120°，且|AB|＝3，|AC|＝2.若AP＝λAB＋AC，且AP⊥BC，则实数 λ 的值为 ________.解析： AP⊥BC，∴AP·BC＝0.又AP＝λAB＋AC，BC＝AC－AB，∴(λAB＋AC)·(AC－AB)＝0，即(λ－1)AC·AB－λAB2＋AC2＝0，∴(λ－1)|AC||AB|cos 120°－9λ＋4＝0.∴(λ－1)×3×2×(－)－9λ＋4＝0.解得 λ＝.二、例题精析例 1、(2013·高考江苏卷)已知向量 a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，0<β<α<π.(1)若|a－b|＝，求证：a⊥b；(2)设 c＝(0,1)，若 a＋b＝c，求 α，β 的值．解：(1)证明：由题意得|a－b|2＝2，即(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝2.又因为 a2＝b2＝|a|2＝|b|2＝1，所以 2－2a·b＝2，即a·b＝0，故 a⊥b.(2)因为 a＋b＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0,1)，所以由此得，cos α＝cos(π－β)，由 0<β<π，得 0<π－β<π.又 0<α<π，故 α＝π－β.代入 sin α＋sin β＝1，得 sin α＝sin β＝，而α>β，所以 α＝，β＝.变式训练： (2014·太原模拟)已知向量 a＝(3cos α，1)，b＝(－2，3sin α)，且 a⊥b，其中 α∈(0，)．(1)求 sin α 和 cos α 的值．(2)若 5sin(α＋β)＝3cos β，β∈(0，π)，求角 β 的值．解：(1) a⊥b，∴a·b＝－6cos α＋3sin α＝0，即 sin α＝2cos α，又 sin2α＋cos2α＝1，∴cos2α＝，sin2α＝，又 α∈(0，)，∴sin α＝ ，...
