第 53 讲 曲线与方程考纲要求考情分析命题趋势 了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.2017·全国卷Ⅱ，202016·全国卷Ⅰ，20(1)2016·全国卷Ⅲ，20(2)求满足条件的动点轨迹及轨迹方程，用直接法和定义法较为普遍.分值：3～5 分1．曲线与方程一般地，在直角坐标系中，如果某曲线 C 上的点与一个二元方程 f(x，y)＝0 的实数解建立了如下关系：(1)曲线上点的坐标都是__这个方程__的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是__曲线上__的点．那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．曲线可以看作是符合某条件的点的集合，也可看作是适合某种条件的点的轨迹，因此，此类问题也叫轨迹问题．2．求曲线方程的基本步骤1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．(1)f(x0，y0)＝0 是点 P(x0，y0)在曲线 f(x，y)＝0 上的充要条件．( √ )(2)方程 x2＋xy＝x 表示的曲线是一个点和一条直线．( × )(3)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是 x2＝y2.( × )(4)方程 y＝与 x＝y2表示同一曲线．( × )解析 (1)正确．由 f(x0，y0)＝0 可知点 P(x0，y0)在曲线 f(x，y)＝0 上，又 P(x0，y0)在曲线 f(x，y)＝0 上时，有 f(x0，y0)＝0.所以 f(x0，y0)＝0 是 P(x0，y0)在曲线 f(x，y)＝0 上的充要条件．(2)错误．方程变为 x(x＋y－1)＝0，所以 x＝0 或 x＋y－1＝0，故方程表示直线 x＝0或直线 x＋y－1＝0.(3)错误．当以两条互相垂直的直线为 x 轴，y 轴时，是 x2＝y2，否则不正确．(4)错误．因为方程 y＝表示的曲线只是方程 x＝y2表示曲线的一部分，故其不正确．2．和点 O(0,0)，A(c,0)距离的平方和为常数 c(c≠0)的点的轨迹方程为__2 x 2 ＋ 2 y 2 － 2 cx ＋ c 2 － c ＝ 0 __.解析 设点的坐标为(x，y)，由题意知()2＋()2＝c，即 x2＋y2＋(x－c)2＋y2＝c，即 2x2＋2y2－2cx＋c2－c＝0.3．MA 和 MB 分别是动点 M(x，y)与两定点 A(－1,0)和 B(1,0)的连线，则使∠AMB 为直角的动点 M 的轨迹方程是__x 2 ＋ y 2 ＝ 1( x ≠±1) __.解析 点 M 在以 A，B 为直径的圆上，但不能是 A，B 两点．4．平面内有三个点 A(－2，y)，B，C(x，y)，若AB⊥BC，则动点 C 的轨迹方程为__y 2 ＝ 8 x ( x ≠0) __．解析 AB＝，BC＝，由AB⊥BC，得AB·BC＝0.即 2x＋·＝0.∴动点 C 的轨迹方程为 y2＝8x(x≠0)．5．圆的方程为 x2＋y2＝4，抛物线过点 ...
