第 7 讲 立体几何中的向量方法一、知识梳理1．两条异面直线所成角的求法设 a，b 分别是两异面直线 l1，l2的方向向量，则l1与 l2所成的角 θa 与 b 的夹角 β范围[0，π]求法cos θ＝cos β＝2.直线与平面所成角的求法设直线 l 的方向向量为 a，平面 α 的法向量为 n，直线 l 与平面 α 所成的角为 θ，a 与 n的夹角为 β，则 sin θ＝|cos β|＝．3．求二面角的大小(1)如图①，AB，CD 分别是二面角 α－l－β 的两个面内与棱 l 垂直的直线，则二面角的大小 θ＝〈 AB ， CD 〉 ．(2)如图②③，n1，n2分别是二面角 α－l－β 的两个半平面 α，β 的法向量，则二面角的大小 θ 满足|cos θ|＝|cos 〈 n 1， n 2〉 | ，二面角的平面角大小是向量 n1与 n2的夹角(或其补角)．常用结论利用空间向量求距离(1)两点间的距离设点 A(x1，y1，z1)，点 B(x2，y2，z2)，则|AB|＝|AB|＝.(2)点到平面的距离如图所示，已知 AB 为平面 α 的一条斜线段，n 为平面 α 的法向量，则 B 到平面 α 的距离为|BO|＝.二、教材衍化1．已知两平面的法向量分别为 m＝(0，1，0)，n＝(0，1，1)，则两平面所成的二面角的大小为________．1解析：cos〈m，n〉＝＝＝，即〈m，n〉＝45°.所以两平面所成二面角为 45°或 180°－45°＝135°.答案：45°或 135°2．在正方体 ABCD－A1B1C1D1中，E 是 C1D1的中点，则异面直线 DE 与 AC 夹角的余弦值为________．解析：如图建立空间直角坐标系，设 DA＝1，A(1，0，0)，C(0，1，0)，E，则AC＝(－1，1，0)，DE＝ ，设异面直线 DE 与 AC 所成的角为 θ，则 cos θ＝|cos〈AC，DE〉|＝.答案：3．正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)ABC－A1B1C1的底面边长为 2，侧棱长为 2，则 AC1与侧面 ABB1A1所成的角为________．解析：以 C 为原点建立空间直角坐标系，如图所示，得下列坐标：A(2，0，0)，C1(0，0，2)．点 C1在侧面 ABB1A1内的射影为点 C2.所以AC1＝(－2，0，2)，AC2＝，设直线 AC1与平面 ABB1A1所成的角为 θ，则 cos θ＝＝＝.又 θ∈，所以 θ＝.答案：一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两直线的方向向量的夹角就是两条直线所成的角．( )(2)已知 a＝(－2，－3，1)，b＝(2，0，4)，c＝(－4，－6，2)，则 a∥c，a⊥b.( )(3)已知向量 m，n 分别是直线 l 的方向向量和平面 α 的法向量，若 co...
