第 2 节 空间几何体的表面积和体积考试要求 了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式.知 识 梳 理1.多面体的表(侧)面积多面体的各个面都是平面，则多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和.2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S 圆柱侧＝2π rl S 圆锥侧＝π rl S 圆台侧＝π( r 1＋ r 2) l 3.空间几何体的表面积与体积公式 名称几何体表面积体积柱 体(棱柱和圆柱)S 表面积＝S 侧＋2S 底V＝S 底 h锥 体(棱锥和圆锥)S 表面积＝S 侧＋S 底V＝S 底 h台 体(棱台和圆台)S 表面积＝S 侧＋S 上＋S 下V＝(S 上＋S 下＋)h球S＝4π R 2 V＝π R 3 [常用结论与微点提醒]1.正方体与球的切、接常用结论正方体的棱长为 a，球的半径为 R，(1)若球为正方体的外接球，则 2R＝a；(2)若球为正方体的内切球，则 2R＝a；(3)若球与正方体的各棱相切，则 2R＝a.2.长方体的共顶点的三条棱长分别为 a，b，c，外接球的半径为 R，则 2R＝.3.正四面体的外接球与内切球的半径之比为 3∶1.诊 断 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)锥体的体积等于底面面积与高之积.( )(2)两个球的体积之比等于它们的半径比的平方.( )(3)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差.( )(4)已知球 O 的半径为 R，其内接正方体的边长为 a，则 R＝a.( )解析 (1)锥体的体积等于底面面积与高之积的三分之一，故不正确.(2)球的体积之比等于半径比的立方，故不正确.答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√2.(新教材必修第二册 P120T5 改编)一个正方体的顶点都在球面上，若球的表面积为 4π，则正方体的棱长为( )A. B. C. D.解析 由 S＝4πR2＝4π，得 R＝1，故 2×1＝a，得 a＝.答案 B3.(老教材必修 2P28A3 改编)如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为________.解析 设长方体的相邻三条棱长分别为 a，b，c，它截出棱锥的体积为 V1＝××a×b×c＝abc，剩下的几何体的体积 V2＝abc－abc＝ abc，所以 V1∶V2＝1∶47.答案 1∶474.(2017·全国Ⅲ卷)已知圆柱的高为 1，它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( )A.π B. C. D.解析 如图画出圆柱的轴截面 ABCD，O 为球心.球半径 R＝OA＝1，球心到底面圆的距离为 OM＝....
