高考数学一轮复习 第八章 立体几何与空间向量 顶层设计 前瞻 立体几何热点问题教学案（含解析）新人教A版-新人教A版高三全册数学教学案VIP专享

立体几何热点问题 三年真题考情核心热点真题印证核心素养线、面位置关系的证明与线面角2019·天津，17；2019·浙江，19；2018·Ⅰ，18；2018·Ⅱ，20；2016·天津，17；2018·天津，17；2017·北京·16数学运算、逻辑推理、直观想象线、面位置关系的证明与二面角2019·Ⅰ，18；2019·Ⅱ，17；2019·Ⅲ，19；2019·北京，16；2018·Ⅲ，19；2017·Ⅲ，19；2017·Ⅰ，18；2017·Ⅱ，19；2016·Ⅰ，18；2016·Ⅱ，19数学运算、逻辑推理、直观想象 热点聚焦突破教材链接高考——线面位置关系与空间角[教材探究](选修 2－1P109 例 4)如图，在四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧棱PD⊥底面 ABCD，PD＝DC，点 E 是 PC 的中点，作 EF⊥PB 交 PB 于点 F.(1)求证：PA∥平面 EDB；(2)求证：PB⊥平面 EFD；(3)求二面角 C－PB－D 的大小.[试题评析] 1.本例包括了空间向量在立体几何中最主要的两个应用：(1)证明或判定空间中的线面位置关系，(2)求空间角.2.教材给出的解法虽然都用到了向量，但第(1)(2)题仍然没有脱离线面平行、线面垂直的判定定理，第(3)题是先找到二面角的平面角，然后利用向量求解.3.除了教材给出的解法外，我们还可以利用相关平面的法向量解答本题，其优点是可以使几何问题代数化.【教材拓展】 如图，在四棱锥 P－ABCD 中，BC⊥CD，AD＝CD，PA＝3，△ABC 和△PBC 均是边长为 2 的等边三角形.(1)求证：平面 PBC⊥平面 ABCD；(2)求二面角 C－PB－D 的余弦值.(1)证明 取 BC 的中点 O，连接 OP，OA，如图.因为△ABC，△PBC 均为边长为 2 的等边三角形，点 O 为 BC 的中点，所以 OA⊥BC，OP⊥BC，且 OA＝OP＝3.在△PAO 中，因为 PA＝3，则 PO2＋OA2＝PA2，所以 OP⊥OA.又因为 OA∩BC＝O，OA⊂平面 ABCD，BC⊂平面 ABCD，所以 OP⊥平面 ABCD.又因为 OP⊂平面 PBC.所以平面 PBC⊥平面 ABCD.(2)解 因为 BC⊥CD，△ABC 为等边三角形，所以∠ACD＝.又因为 AD＝CD，所以∠CAD＝，∠ADC＝.在△ADC 中，由正弦定理，得＝，所以 CD＝2.以 O 为坐标原点，OA，OB，OP分别为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则 P(0，0，3)，B(0，，0)，D(2，－，0).所以BP＝(0，－，3)，BD＝(2，－2，0).设平面 PBD 的法向量为 n＝(x，y，z)，则即令 z＝1，则平面 PBD 的一个法向量为 n＝(3，，1)，依题意，平面 PBC 的一个法向量 m＝(1，0，0)，所以...