第 2 讲 大题考法——立体几何的综合问题考向一 平行、垂直的证明与空间几何体的体积计算问题【典例】 (2017·全国卷Ⅱ)如图，四棱锥 PABCD 中，侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面 ABCD，，．(1)证明：直线 BC∥平面 PAD；(2)若△PCD 的面积为 2，．[审题指导][规范解答] (1)证明：在平面 ABCD 内，因为∠BAD＝∠ABC＝90°，所以 BC∥AD.2 分又 BC ⊄ 平面 PAD ❶，AD⊂平面 PAD，3 分故 BC∥平面 PAD.4 分(2)解：如图，取 AD 的中点 M，连接 PM，CM.由 AB＝BC＝AD 及 BC∥AD，∠ABC＝90°，得四边形 ABCM 为正方形，则 CM⊥AD.6 分因为侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面 ABCD ❷，平面 PAD∩平面 ABCD＝AD，所以 PM⊥AD，PM⊥底面 ABCD.8 分因为 CM⊂底面 ABCD，所以 PM⊥CM.9 分设 BC＝x，则 CM＝x，CD＝x，PM＝x，PC＝PD＝2x．取 CD 的中点 N ，连接 PN ，则 PN ⊥ CD ❸，所以 PN＝x.10 分因为△PCD 的面积为 2，所以×x×x＝2，解得 x＝－2(舍去)或 x＝2．于是 AB＝BC＝2，AD＝4，PM＝2.11 分所以四棱锥 PABCD 的体积V＝××2＝4.12 分❶ 处在证明线面平行问题时，易忽视线不在面内这一条件从而失分，注意线面平行条件使用的规范化．❷ 处易忽视通过侧面 PAD⊥底面 ABCD 可转化为线面垂直及线线垂直，从而不能创设垂直关系和利用数量等量关系来确定底面边长及高．❸ 处易忽视如何表示△PCD 的面积，即以 CD 为底，高如何确定，导致思路不通．[技法总结] 位置关系的证明与求几何体的体积综合问题的模型[变式提升]1 ． (2018· 天 水 二 模 ) 在 多 面 体ABCDPQ中 ， 平 面PAD⊥ 平 面ABCD.AB∥CD∥PQ，AB⊥AD，△PAD 为正三角形，O 为 AD 中点，且 AD＝AB＝2，CD＝PQ＝1．(1)求证：平面 POB⊥平面 PAC；证明 由条件可知，Rt△ADC≌Rt△BAO，故∠DAC＝∠ABO．∴∠DAC＋∠AOB＝∠ABO＋∠AOB＝90°．∴AC⊥BO． PA＝PD，且 O 为 AD 中点，∴PO⊥AD．平面 PAD⊥平面 ABCD． ∴PO⊥平面 ABCD．又 AC⊂平面 ABCD，∴AC⊥PO．又 BO∩PO＝O，∴AC⊥平面 POB． AC⊂平面 PAC，∴平面 POB⊥平面 PAC．(2)求多面体 ABCDPQ 的体积．解 取 AB 中点为 E，连接 CE，QE．由(1)可知，PO⊥平面 ABCD．又 AB⊂平面 ABCD，∴PO⊥AB．又 AB⊥AD，PO∩AD＝O，∴AB⊥平面 PAD．∴VABCDPQ＝VPADQEC＋VQCEB＝S△PAD·|A...
