高考数学一轮复习 第6章 不等式、推理与证明 第2节 基本不等式学案 文 北师大版-北师大版高三全册数学学案

第二节 基本不等式[考纲传真] 1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．(对应学生用书第 81 页) [基础知识填充]1．基本不等式≤(1)基本不等式成立的条件：a >0 ， b >0 .(2)等号成立的条件：当且仅当 a ＝ b 时取等号．(3)称为正数 a，b 的算术平均数.称为正数 a、b 的几何平均数．2．几个重要的不等式(1)a2＋b2≥2 ab (a，b∈R 当且仅当 a＝b 时，取等号)；(2)＋≥2(a，b 同号且不为零，当且仅当 a＝b 时，取等号)；(3)ab≤2(a，b∈R，当且仅当 a＝b 时，取等号)；(4)2≤(a，b∈R，当且仅当 a＝b 时，取等号)．3．利用基本不等式求最值问题已知 x>0，y>0，则(1)如果 xy 是定值 p，那么当且仅当 x＝y 时，x＋y 有最小值是 2(简记：积定和最小)．(2)如果 x＋y 是定值 s，那么当且仅当 x＝y 时，xy 有最大值是(简记：和定积最大)．[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数 y＝x＋的最小值是 2.( )(2)函数 f(x)＝cos x＋，x∈的最小值等于 4.( )(3)x>0，y>0 是＋≥2 的充要条件．( )(4)若 a>0，则 a3＋的最小值为 2.( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×2．若 a，b∈R，且 ab>0，则下列不等式中，恒成立的是( )A．a2＋b2>2ab B．a＋b≥2C．＋>D．＋≥2D [ a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴A 错误；对于 B，C，当 a<0，b<0 时，明显错误．对于 D， ab>0，∴＋≥2＝2.]3．(2018·福州模拟)若直线＋＝1(a＞0，b＞0)过点(1,1)，则 a＋b 的最小值等于( )A．2B．3C．4D．5C [因为直线＋＝1(a＞0，b＞0)过点(1,1)，所以＋＝1.所以 a＋b＝(a＋b)·＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当 a＝b＝2 时取“＝”，故选 C．]4．若函数 f(x)＝x＋(x>2)在 x＝a 处取最小值，则 a 等于( )A．1＋B．1＋ C．3D．4C [当 x>2 时，x－2>0，f(x)＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当 x－2＝(x>2)，即 x＝3 时取等号，即当 f(x)取得最小值时，x＝3，即 a＝3，选 C．]5．(教材改编)若把总长为 20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是__________m2. 【导学号：00090198】25 [设矩形的一边为 x m，矩形场地的面积为 y，则另一边为×(20－2x)＝(10－x)m，则 y＝x(10－x)≤2＝25，当且仅当 x＝10－x，即 x＝5 时，ymax＝25.](对应学生用书第 81 页)直接法或配凑法求最值 (1)(2015·...