高考数学一轮复习 第6章 数列 第3节 等比数列及其前n项和教学案 理 北师大版-北师大版高三全册数学教学案

第三节 等比数列及其前 n 项和[最新考纲] 1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等比数列与指数函数的关系．1．等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母 q 表示，定义的数学表达式为＝q(n∈N＋，q 为非零常数)．(2)等比中项：如果在 a 与 b 中间插入一个数 G，使得 a，G，b 成等比数列，那么根据等比数列的定义，＝，G2＝ab，G＝±，那么 G 叫作 a 与 b 的等比中项．即：G 是 a 与 b 的等比中项⇔a，G，b 成等比数列⇔G2＝ab.2．等比数列的有关公式(1)通项公式：an＝a1q n － 1 ＝amqn－m.(2)前 n 项和公式：Sn＝等比数列的常用性质1．在等比数列{an}中，若 m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N＋)，则 am· a n＝ a p· a q＝ a .2．若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，，{a}，{an·bn}，仍然是等比数列．3．等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，则 Sn， S 2n－ S n， S 3n－ S 2n 仍成等比数列，其公比为 q n ，其中当公比为－1 时，n 为偶数时除外．一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)满足 an＋1＝qan(n∈N＋，q 为常数)的数列{an}为等比数列．( )(2)G 为 a，b 的等比中项⇔G2＝ab.( )(3)若{an}为等比数列，bn＝a2n－1＋a2n，则数列{bn}也是等比数列．( )(4)数列{an}的通项公式是 an＝an，则其前 n 项和为 Sn＝.( )(5)数列{an}为等比数列，则 S4，S8－S4，S12－S8成等比数列．( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)× (5)×二、教材改编1．在等比数列{an}中，a3＝2，a7＝8，则 a5等于( )A．5B．±5C．4D．±4C [ a＝a3a7＝2×8＝16，∴a5＝±4.又 a5＝a3q2＞0，∴a5＝4.]2．等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，已知 S3＝a2＋10a1，a5＝9，则 a1＝( )1A.B.－C.D.－C [ S3＝a2＋10a1，∴a1＋a2＋a3＝a2＋10a1，∴a3＝9a1，即公比 q2＝9，又 a5＝a1q4，∴a1＝＝＝.故选 C.]3．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前 n 项和．若 Sn＝126，则 n＝________.6 [ a1＝2，an＋1＝2an，∴数列{an}是首项为 2，公比为 2 的等比数列．又 Sn＝126，∴＝1...