第三节 等比数列及其前 n 项和[最新考纲] 1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系,并能用等比数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等比数列与指数函数的关系.1.等比数列的有关概念(1)定义:如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数(不为零),那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母 q 表示,定义的数学表达式为=q(n∈N+,q 为非零常数).(2)等比中项:如果在 a 与 b 中间插入一个数 G,使得 a,G,b 成等比数列,那么根据等比数列的定义,=,G2=ab,G=±,那么 G 叫作 a 与 b 的等比中项.即:G 是 a 与 b 的等比中项⇔a,G,b 成等比数列⇔G2=ab.2.等比数列的有关公式(1)通项公式:an=a1q n - 1 =amqn-m.(2)前 n 项和公式:Sn=等比数列的常用性质1.在等比数列{an}中,若 m+n=p+q=2k(m,n,p,q,k∈N+),则 am· a n= a p· a q= a .2.若数列{an},{bn}(项数相同)是等比数列,则{λan}(λ≠0),,{a},{an·bn},仍然是等比数列.3.等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,则 Sn, S 2n- S n, S 3n- S 2n 仍成等比数列,其公比为 q n ,其中当公比为-1 时,n 为偶数时除外.一、思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)满足 an+1=qan(n∈N+,q 为常数)的数列{an}为等比数列.( )(2)G 为 a,b 的等比中项⇔G2=ab.( )(3)若{an}为等比数列,bn=a2n-1+a2n,则数列{bn}也是等比数列.( )(4)数列{an}的通项公式是 an=an,则其前 n 项和为 Sn=.( )(5)数列{an}为等比数列,则 S4,S8-S4,S12-S8成等比数列.( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)× (5)×二、教材改编1.在等比数列{an}中,a3=2,a7=8,则 a5等于( )A.5B.±5C.4D.±4C [ a=a3a7=2×8=16,∴a5=±4.又 a5=a3q2>0,∴a5=4.]2.等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S3=a2+10a1,a5=9,则 a1=( )1A.B.-C.D.-C [ S3=a2+10a1,∴a1+a2+a3=a2+10a1,∴a3=9a1,即公比 q2=9,又 a5=a1q4,∴a1===.故选 C.]3.在数列{an}中,a1=2,an+1=2an,Sn为{an}的前 n 项和.若 Sn=126,则 n=________.6 [ a1=2,an+1=2an,∴数列{an}是首项为 2,公比为 2 的等比数列.又 Sn=126,∴=1...