高考数学二轮复习 第一篇 微型专题 专题3 数列知识整合学案 理-人教版高三全册数学学案

专题 3 数列 一、等差数列 1.等差数列的通项公式是什么?如何表示等差数列中任意两项的关系?an=a1+(n-1)d;an=am+(n-m)d.2.等差数列的前 n 项和公式是什么?它具有什么特点?Sn=n(a1+an)2=na1+n(n-1)2d.等差数列的前 n 项和为关于 n 的二次函数,且没有常数项. 二、等比数列1.等比数列的通项公式是什么?如何表示等比数列中任意两项的关系?an=a1qn-1;an=amqn-m.2.等比数列的前 n 项和公式是什么?具有什么特点?易忽略点是什么?Sn={na1,q=1,a1( 1- qn)1- q=a1- anq1- q,q≠1.当 q≠1 时,Sn= a11- q- a11- q·qn,qn的系数与常数项互为相反数.应用等比数列前 n 项和公式时,应先讨论公式中的公比 q 是否等于 1.3.等差数列的单调性与什么有关?等比数列呢?等差数列的单调性只取决于公差 d 的正负,而等比数列的单调性既要考虑公比 q 的取值,又要考虑首项 a1的正负.4.等差中项、等比中项的概念是什么?由此可以得到哪些重要的性质?等差中项:若 a,M,b 成等差数列,则 M 为 a,b 的等差中项,且 M=a+b2.重要性质:已知数列{an}是等差数列,(1)若 m,n,p,q∈N*,且 m+n=p+q,则 am+an=ap+aq.(2)an=12n- 1S2n-1.等比中项:若 a,M,b 成等比数列,则 M 为 a,b 的等比中项,且 M2=ab.重要性质:已知数列{an}是等比数列,若 m,n,p,q∈N*,且 m+n=p+q,则 am·an=ap ·aq. 三、数列求和列举数列求和的方法,各自的注意点是什么?(1)公式法求和:要熟练掌握一些常见数列的前 n 项和公式.(2)分组求和法:分组求和法是解决通项公式可以写成 cn=an+bn形式的数列求和问题的方法,其中{an}与{bn}是等差(比)数列或一些可以直接求和的数列.(3)裂项相消法:将数列的通项公式分成两个代数式子的差,即 an=f(n+1)-f(n)的形式,然后通过累加抵消中间若干项的求和方法.形如{canan+1}(其中{an}是公差 d≠0 且各项均不为 0 的等差数列,c 为常数)的数列等.用裂项相消法求和时易认为只剩下首尾两项.用裂项相消法求和时要注意所裂式与原式的等价性.附:常见的裂项公式(其中 n∈N*).①1n(n+1)=1n- 1n+1.②1n(n+k )=1k (1n -1n+k).③1(2n-1)(2n+1)=12(12n-1 -12n+1).④1❑√n+❑√n+1=❑√n+1-❑√n.⑤1❑√n+❑√n+k=1k(❑√n+k - ❑√n).(4)错位相减法:形如{an·bn}(其中{an}为等差数列,{bn}为等比数列)的数列求和,一般分三步:① 巧拆分;② 构差式;③ 求和.用错位相减法求和时易漏掉减数式的最后一项.(5)倒序求和法:距首尾两端等距离的两...