第五节 空间向量的运算及应用[考纲传真] 1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直.4.理解直线的方向向量及平面的法向量.5.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系.6.能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理．1．空间向量的有关概念名称定义空间向量在空间中，具有大小和方向的量方向向量A、B 是空间直线 l 上任意两点，则称AB为直线 l 的方向向量法向量如果直线 l 垂直于平面 α，那么把直线 l 的方向向量 n 叫作平面 α 的法向量共线向量(或平行向量)表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量共面向量平行于同一个平面的向量2.空间向量的有关定理(1)共线向量定理：对空间任意两个向量 a，b(b≠0)，a∥b 的充要条件是存在实数 λ，使得 a＝λB．(2)共面向量定理：如果两个向量 a，b 不共线，那么向量 p 与向量 a，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使 p＝xa＋yB．(3)空间向量基本定理：如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对空间任一向量 p，存在有序实数组{x，y，z}，使得 p＝xa＋yb＋zc，其中，{a，b，c}叫做空间的一个基底．3．两个向量的数量积(1)非零向量 a，b 的数量积 a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)空间向量数量积的运算律：① 结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；② 交换律：a·b＝b·a；③ 分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.4．空间向量的坐标表示及其应用设 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．向量表示坐标表示数量积a·ba1b1＋ a 2b2＋ a 3b3共线a＝λb(b≠0，λ∈R)a1＝ λb 1， a 2＝ λb 2， a 3＝ λb 3垂直a·b＝0(a≠0，b≠0)a1b1＋ a 2b2＋ a 3b3＝ 0 模|a|夹角〈a，b〉(a≠0，b≠0)cos〈a，b〉＝5.空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线 l1，l2的方向向量分别为 n1，n2l1∥l2n1∥n2⇔n1＝λn2l1⊥l2n1⊥n2⇔n1· n 2＝ 0 直线 l 的方向向量为 n，平面 α 的法向量为 ml∥αn⊥m⇔n · m ＝ 0 l⊥αn∥m⇔n＝λm平面 α，β 的法向量分别为 n，mα∥βn∥m⇔n＝λmα⊥βn⊥m⇔n · m ＝ 0 [常用结论]1．对空间任一点 O，若OP＝xOA＋yOB(x＋y＝1)，则 P，A，B 三点共线．2．对空间任一点 O，若OP＝xOA...
