第 11 讲 导数在研究函数中的应用第 1 课时 利用导数研究函数的单调性[考纲解读] 1.了解函数的单调性与导数的关系．(重点)2．能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间．(重点、难点)[考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲是高考中的必考内容．预测 2021 年会考查函数的单调性与导数的关系，题型有两个：①利用导数确定函数的单调性；②已知单调性利用导数求参数的取值范围．常以解答题形式出现，属中档题.函数的单调性与导数的关系条件结论函数 y＝f(x)在区间(a，b)上可导f′(x)>0f(x)在(a，b)内□单调递增f′(x)<0f(x)在(a，b)内□单调递减f′(x)＝0f(x)在(a，b)内是□常数函数1．概念辨析(1)若函数 f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有 f′(x)>0.( )(2)如果函数 f(x)在某个区间内恒有 f′(x)＝0，则 f(x)在此区间内没有单调性．( )(3)在(a，b)内 f′(x)≤0 且 f′(x)＝0 的根有有限个，则 f(x)在(a，b)上单调递减．( )答案 (1)× (2)√ (3)√2．小题热身(1)设 f′(x)是函数 f(x)的导函数，y＝f′(x)的图象如图所示，则 y＝f(x)的图象最有可能的是( )答案 C解析 由 y＝f′(x)的图象易得，当 x<0 或 x＞2 时，f′(x)>0；当 00 时，函数 f(x)单调递增，此时由不等式 f′(x)＝(x－2)ex>0，解得 x>2.(4)已知 f(x)＝x3－ax 在[1，＋∞)上是增函数，则 a 的最大值是________．答案 3解析 由题意得，f′(x)＝3x2－a≥0 对 x∈[1，＋∞)恒成立，即 a≤3x2对 x∈[1，＋∞)恒成立，所以 a≤3.经检验 a＝3 也满足题意，所以 a 的最大值是 3.题型 一 不含参数的函数的单调性 1．函数 f(x)＝ex－ex，x∈R 的单调递增区间是( )A．(0，＋∞) B．(－∞，0)C．(－∞，1) D．(1，＋∞)答案 D解析 依题意得 f′(x)＝ex－e.由函数导数与函数单调性...
