第 3 课时 导数的综合应用题型 一 利用导数求解函数的零点或方程的根的问题 1．(2019·汉中模拟)若函数 f(x)与 g(x)满足：存在实数 t，使得 f(t)＝g′(t)，则称函数 g(x)为 f(x)的“友导”函数．已知函数 g(x)＝kx2－x＋3 为函数 f(x)＝x2ln x＋x 的“友导”函数，则 k 的取值范围是( )A．(－∞，1) B．(－∞，2]C．(1，＋∞) D．[2，＋∞)答案 D解析 g′(x)＝kx－1，由题意 g(x)为函数 f(x)的“友导”函数，即方程 x2ln x＋x＝kx－1 有解，故 k＝xln x＋＋1，记 p(x)＝xln x＋＋1，则 p′(x)＝1＋ln x－＝＋ln x，当x>1 时，>0，ln x>0，故 p′(x)>0，故 p(x)递增；当 00，所以 f(x)在(0,1)，(1，＋∞)上单调递增．因为 f(e)＝1－<0，f(e2)＝2－＝>0，所以 f(x)在(1，＋∞)有唯一零点 x1(e0，解得 x>e－2，令 f′(x)<0，解得 0时，f(x)min>0，f(x)无零点，当 a＝时，f(x)min＝0，f(x)有 1 个零点，当 a<时，f(x)min<0，f(x)有 2 个零点．条件探究 2 将本例中的函数 f(x)改为 f(x)＝x－2＋(e 为自然对数的底数)．若直线l：y＝kx－2 与曲线 y＝f(x)没有公共点，求 k 的最大值．解 直线 l：y＝kx－2 与曲线 y＝f(x)没有公共点等价于关于 x 的方程 kx－2＝x－2＋在R 上没有实数解，即关于 x 的方程(k－1)x＝(*)在 R 上没有实数解．(1)当 k＝1 时，方程(*)可化为＝0，在 R 上没有实数解，符合题意．(2)当 k≠1 时，方程(*)可化为＝xex.令 g(x)＝xex，则有 g′(x)＝(1＋x)ex，令 g′(x)＝0，得 x＝－1.当 x 变化时，g′(x)，g(x)的变化情况如下表：x(－∞，－1)－1(－1，＋∞)g′(x)－0＋g(x)...
