第 11 讲 导数在研究函数中的应用第 1 课时 利用导数研究函数的单调性函数的单调性与导数的关系1．概念辨析(1)若函数 f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有 f′(x)>0.( )(2)如果函数 f(x)在某个区间内恒有 f′(x)＝0，则 f(x)在此区间内没有单调性．( )(3)可导函数 f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是：对∀x∈(a，b)，都有 f′(x)≥0(f′(x)≤0)且 f′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零．( )答案 (1)× (2)√ (3)√2．小题热身(1)如图是函数 y＝f(x)的导函数 y＝f′(x)的图象，则下面判断正确的是( )A．在区间(－2,1)上 f(x)是增函数B．在区间(1,3)上 f(x)是减函数C．在区间(4,5)上 f(x)是增函数D．当 x＝2 时，f(x)取到极小值答案 C解析 观察 y＝f′(x)的图象可知，f(x)在区间(－2,1)上先减后增，在区间(1,3)上先增后减，在区间(4,5)上是增函数，当 x＝2 时，f(x)取到极大值，故只有 C 正确．(2)f(x)＝x3－6x2的单调递减区间为( )A．(0,4) B．(0,2)C．(4，＋∞) D．(－∞，0)答案 A解析 f′(x)＝3x2－12x＝3x(x－4)，由 f′(x)<0 得 00 时，函数 f(x)单调递增，此时由不等式 f′(x)＝(x－2)ex>0，解得 x>2.(4)已知 f(x)＝x3－ax 在[1，＋∞)上是增函数，则 a 的最大值是________．答案 3解析 由题意得，f′(x)＝3x2－a≥0 对 x∈[1，＋∞)恒成立，即 a≤3x2对 x∈[1，＋∞)恒成立，所以 a≤3.经检验 a＝3 也满足题意，所以 a 的最大值是 3.题型 不含参数的函数的单调性1．已知函数 f(x)＝xln x，则 f(x)( )A．在(0，＋∞)上单调递增B．在(0，＋∞)上单调递减C．在上单调递增D．在上单调递减答案 D解析 f′(x)＝x′ln x＋x(ln x)′＝ln x＋1.由 f′(x)＝0 得 x＝，当 x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当 x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增，故只有 D 正确．2．函数 f(x)＝的单调递增区间是( )A．(－∞，－1) B．(－1,1)C．(1，＋∞) D．(－∞，－1)或(1，＋∞)答案 B解析 函数 f(x)的定义域为 R，f′(x)＝＝.要使 f′(x)>0，只需(1－x)(1＋x)>0，解得 x∈(－1,1)．3...
