第六节 立体几何中的向量方法[考纲传真] 能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用．1．异面直线的夹角设 a，b 分别是两异面直线 l1，l2的方向向量，则a 与 b 的夹角〈a，b〉l1与 l2的夹角 θ范围0＜〈a，b〉＜π0< θ ≤ 关系cos〈a，b〉＝cos θ＝|cos〈a，b〉|＝2.直线与平面的夹角设直线 l 的方向向量为 a，平面 α 的法向量为 n，直线 l 与平面 α 的夹角为 θ，则 sin θ＝|cos〈a，n〉|＝.3．二面角(1)如图①，AB，CD 是二面角 αlβ 的两个面内与棱 l 垂直的直线，则二面角的大小 θ＝〈 AB ， CD 〉 ．(2)如图②③，n1，n2分别是二面角 αlβ 的两个半平面 α，β 的法向量，则二面角的大小 θ 满足|cos θ|＝|cos 〈 n 1， n 2〉 | ，二面角的平面角大小是向量 n1与 n2的夹角(或其补角)．[常用结论] 点到平面的距离如图所示，已知 AB 为平面 α 的一条斜线段，n 为平面 α 的法向量，则 B 到平面 α 的距离为|BO|＝.[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两直线的方向向量的夹角就是两条直线的夹角．( )(2)直线的方向向量和平面的法向量的夹角就是直线与平面所成的角( )(3)两个平面的法向量的夹角是这两个平面所成的二面角．( )(4)两异面直线夹角的范围是，直线与平面所成角的范围是，二面角的范围是[0，π]．( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√2．已知两平面的法向量分别为 m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角为( )A. B．πC.或 π D．或 πC [ m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，∴m·n＝1，|m|＝1，|n|＝，∴cos〈m，n〉＝＝，∴〈m，n〉＝.∴两平面所成的二面角为或 π，故选 C.]3.如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，已知 M，N 分别是 BD和 AD 的中点，则 B1M 与 D1N 夹角的余弦值为( )A. B．C. D．A [以 D 为原点建立空间直角坐标系 Dxyz，如图，设AB＝2，则N(1,0,0)，D1(0,0,2)，M(1,1,0)，B1(2,2,2)，∴B1M＝(－1，－1，－2)，D1N＝(1,0，－2)，∴B1M·D1N＝－1＋4＝3，|B1M|＝，|D1N|＝，∴cos〈B1M，D1N〉＝＝＞0，∴B1M 与 D1N 夹角的余弦值为.故选 A.]4．已知向量 m，n 分别是直线 l 和平面 α 的方向向量和法向量，若 cos〈m，n〉＝－，则 l 与 α 的夹角为________． [设 l ...
