§2.8 函数与方程最新考纲考情考向分析结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数.利用函数零点的存在性定理或函数的图象，判断零点个数或求相关参数的范围，是高考的热点，题型以选择、填空题为主，也可和导数等知识交汇出现解答题，中高档难度.1．函数的零点(1)函数零点的定义对于函数 y＝f (x)(x∈D)，把使 f ( x ) ＝ 0 的实数 x 叫做函数 y＝f (x)(x∈D)的零点．(2)三个等价关系方程 f (x)＝0 有实数根⇔函数 y＝f (x)的图象与 x 轴 有交点⇔函数 y＝f (x)有零点．(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数 y＝f (x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f ( a )· f ( b )<0 ，那么，函数 y＝f (x)在区间( a ， b ) 内有零点，即存在 c∈(a，b)，使得 f ( c ) ＝ 0，这个 c 也就是方程 f (x)＝0 的根．2．二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系Δ>0Δ＝0Δ<0二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与 x 轴的交点( x 1,0) ， ( x 2,0)( x 1,0)无交点零点个数210概念方法微思考函数 f (x)的图象连续不断，是否可得到函数 f (x)只有一个零点？提示 不能．1题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数的零点就是函数的图象与 x 轴的交点．( × )(2)函数 y＝f (x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则 f (a)·f (b)<0.( × )(3)二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在 b2－4ac<0 时没有零点．( √ )(4)f (x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当 x∈(4，＋∞)时，恒有 h(x)0，且函数 f (x)的图象在(0，＋∞)上连续不断，f (x)为增函数，∴f (x)的零点在区间(2,3)内．3．函数 f (x)＝ex＋3x 的零点个数是( )A．0B．1C．2D．3答案 B解析 由 f′(x)＝ex＋3>0，得 f (x)在 R 上单调递增，又 f (－1)＝－3<0，f (0)＝1>0，因此函数 f (x)有且只有一个零点．4．若函数 f (x)＝x2－4x＋a 存在两个不同的零点，则实数 a 的取值范围是________．答案 (－∞，4)题组三 易错自纠5 ． 已 知 函 数 f (x) ＝ x － (x>0) ， g(x) ＝...
