第 2 课时 导数与函数的极值、最值利用导数解决函数的极值问题►考法 1 根据函数图像判断函数极值的情况【例 1】 设函数 f(x)在 R 上可导，其导函数为 f′(x)，且函数 y＝(1－x)f′(x)的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是( )A．函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1)B．函数 f(x)有极大值 f(－2)和极小值 f(1)C．函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(－2)D．函数 f(x)有极大值 f(－2)和极小值 f(2)D [由题图可知，当 x＜－2 时，f′(x)＞0；当－2＜x＜1 时，f′(x)＜0；当 1＜x＜2时，f′(x)＜0；当 x＞2 时，f′(x)＞0.由此可以得到函数 f(x)在 x＝－2 处取得极大值，在 x＝2 处取得极小值．]►考法 2 求已知函数的极值【例 2】 已知函数 f(x)＝(x－2)(ex－ax)，当 a＞0 时，讨论 f(x)的极值情况．[解] f′(x)＝(ex－ax)＋(x－2)(ex－a)＝(x－1)(ex－2a)， a＞0，由 f′(x)＝0 得 x＝1 或 x＝ln 2a.① 当 a＝时，f′(x)＝(x－1)(ex－e)≥0，∴f(x)递增，故 f(x)无极值．② 当 0＜a＜时，ln 2a＜1，当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，ln 2a)ln 2a(ln 2a,1)1(1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗极大值↘极小值↗故 f(x)有极大值 f(ln 2a)＝－a(ln 2a－2)2，极小值 f(1)＝a－e.③ 当 a＞时，ln 2a＞1，当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，1)1(1，ln 2a)ln 2a(ln 2a，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗极大值↘极小值↗故 f(x)有极大值 f(1)＝a－e，极小值 f(ln 2a)＝－a(ln 2a－2)2.综上，当 0＜a＜时，f(x)有极大值－a(ln 2a－2)2，极小值 a－e；当 a＝时，f(x)无极值；当 a＞时，f(x)有极大值 a－e，极小值－a(ln 2a－2)2.►考法 3 已知函数极值求参数的值或范围【例 3】 (1)已知 f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在 x＝－1 时有极值 0，则 a－b＝________.(2)若函数 f(x)＝ex－aln x＋2ax－1 在(0，＋∞)上恰有两个极值点，则 a 的取值范围为( )A．(－e2，－e) B．C. D．(－∞，－e)(1)－7 (2)D [(1)由题意得 f′(x)＝3x2＋6ax＋b，则解得或经检验当 a＝1，b＝3 时，函数 f(x)在 x＝－1 处无法取得极值，而 a＝2，b＝9 满足题意，故 a－b＝－7.(2) f′(x)＝ex－＋2a，(x＞0)∴由 f′(x)＝0 得 a＝.令 g(x)＝(x＞0)．由题意可知 g(x)＝a 在(0，＋∞)上恰有两个零点．又 g′(x)＝－(x＞0)，由 ...
