第 2 课时 利用空间向量求空间角(对应学生用书第 125 页)求异面直线的夹角 如图 7715，四面体 ABCD 中，O 是 BD 的中点，CA＝CB＝CD＝BD＝2，AB＝AD＝.图 7715(1)求证：AO⊥平面 BCD；(2)求异面直线 AB 与 CD 夹角的余弦值．[解] (1)证明：连接 OC，由 CA＝CB＝CD＝BD＝2，AB＝AD＝，O 是 BD 的中点，知CO＝，AO＝1，AO⊥BD.在△AOC 中，AC2＝AO2＋OC2，则 AO⊥OC．又 BD∩OC＝O，因此 AO⊥平面 BCD.(2)如图建立空间直角坐标系 Oxyz，则 A(0,0,1)，B(1,0,0)，C(0，，0)，D(－1,0,0)，AB＝(1,0，－1)，CD＝(－1，－，0)，所以|cos〈AB，CD〉|＝＝.即异面直线 AB 与 CD 夹角的余弦值为.[规律方法] 利用向量法求异面直线夹角的步骤1 选好基底或建立空间直角坐标系.2 求出两直线的方向向量 v1，v2.3 代入公式|cos〈v1，v2〉|＝求解.易错警示：两异面直线夹角的范围是 θ∈，两向量的夹角 α 的范围是[0，π]，当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线的夹角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线的夹角.[跟踪训练] (2017·湖南五市十校 3 月联考)有公共边的等边三角形 ABC 和 BCD 所在平面互相垂直，则异面直线 AB 和 CD 夹角的余弦值为________. 【导学号：79140254】 [设等边三角形的边长为 2.取 BC 的中点 O，连接 OA、OD， 等边三角形 ABC 和 BCD 所在平面互相垂直，∴OA，OC，OD 两两垂直，以 O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．则 A(0,0，)，B(0，－1,0)，C(0,1,0)，D(，0,0)，∴AB＝(0，－1，－)，CD＝(，－1,0)，∴cos〈AB，CD〉＝＝＝，∴异面直线 AB 和 CD 夹角的余弦值为.]求直线与平面的夹角 (2017·浙江高考)如图 7716，已知四棱锥 PABCD，△PAD 是以 AD 为斜边的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC＝AD＝2DC＝2CB，E 为 PD 的中点．图 7716(1)证明：CE∥平面 PAB；(2)求直线 CE 与平面 PBC 夹角的正弦值．[解] (1)证明：如图，设 PA 的中点为 F，连接 EF，FB.因为 E，F 分别为 PD，PA 的中点，所以 EF∥AD 且 EF＝AD.又因为 BC∥AD，BC＝AD，所以 EF∥BC 且 EF＝BC，所以四边形 BCEF 为平行四边形，所以 CE∥BF.因为 BF 平面 PAB，CE⊆平面 PAB，所以 CE∥平面 PAB.(2)分别取 BC，AD 的中点 M，N.连接 PN 交 EF 于点 Q，连接 MQ.因为 E，...
