第 2 课时 利用空间向量求空间角(对应学生用书第 125 页)求异面直线的夹角 如图 7715，四面体 ABCD 中，O 是 BD 的中点，CA＝CB＝CD＝BD＝2，AB＝AD＝
图 7715(1)求证：AO⊥平面 BCD；(2)求异面直线 AB 与 CD 夹角的余弦值．[解] (1)证明：连接 OC，由 CA＝CB＝CD＝BD＝2，AB＝AD＝，O 是 BD 的中点，知CO＝，AO＝1，AO⊥BD
在△AOC 中，AC2＝AO2＋OC2，则 AO⊥OC．又 BD∩OC＝O，因此 AO⊥平面 BCD
(2)如图建立空间直角坐标系 Oxyz，则 A(0,0,1)，B(1,0,0)，C(0，，0)，D(－1,0,0)，AB＝(1,0，－1)，CD＝(－1，－，0)，所以|cos〈AB，CD〉|＝＝
即异面直线 AB 与 CD 夹角的余弦值为
[规律方法] 利用向量法求异面直线夹角的步骤1 选好基底或建立空间直角坐标系
2 求出两直线的方向向量 v1，v2
3 代入公式|cos〈v1，v2〉|＝求解
易错警示：两异面直线夹角的范围是 θ∈，两向量的夹角 α 的范围是[0，π]，当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线的夹角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线的夹角
[跟踪训练] (2017·湖南五市十校 3 月联考)有公共边的等边三角形 ABC 和 BCD 所在平面互相垂直，则异面直线 AB 和 CD 夹角的余弦值为________
【导学号：79140254】 [设等边三角形的边长为 2
取 BC 的中点 O，连接 OA、OD， 等边三角形 ABC 和 BCD 所在平面互相垂直，∴OA，OC，OD 两两垂直，以 O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．则 A(0,0，)，B(0，－1,0)，C(0,1,0)，D(，0,
