第 5 讲 数学归纳法一、知识梳理数学归纳法一般地，证明一个与正整数 n 有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当 n 取第一个值 n 0(n0∈N+)时命题成立．(2)(归纳递推)假设当 n＝k(k≥n0，k∈N+)时命题成立，证明当 n ＝ k ＋ 1 时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从 n0开始的所有正整数 n 都成立．二、教材衍化1．在应用数学归纳法证明凸 n 边形的对角线为 n(n－3)条时，第一步检验 n 等于( )A．1 B．2 C．3 D．4解析：选 C.凸 n 边形边数最小时是三角形，故第一步检验 n＝3.2．已知 {an}满足 an ＋ 1＝a－nan＋1，n∈N*，且 a1＝2，则 a2＝________，a3＝________，a4＝________，猜想 an＝________．答案：3 4 5 n＋1一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当 n＝1 时结论成立．( )(2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明．( )(3)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由 n＝k 到 n＝k＋1 时，项数都增加了一项．( )(4)用数学归纳法证明问题时，必须要用归纳假设．( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)√二、易错纠偏(1)误认为利用数学归纳法证明时第一步验证的初始值均为 n＝1；(2)利用数学归纳法证明时，添加的项出错，或不利用归纳假设．1．用数学归纳法证明“2n>n2＋1 对于 n≥n0的正整数 n 都成立”时，第一步证明中的起始值 n0应取( )A．2 B．3C．5 D．6解析：选 C.当 n＝1 时，21＝2＝12＋1，当 n＝2 时，22＝4<22＋1＝5，当 n＝3 时，23＝8<32＋1＝10，当 n＝4 时，24＝16<42＋1＝17，当 n＝5 时，25＝32>52＋1＝26，当 n＝6 时，26＝64>62＋1＝37，故起始值 n0应取 5.2．用数学归纳法证明 1＋2＋3＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1)时，从 n＝k 到 n＝k＋1，左边需增添的代数式是______________．解析：当 n＝k 时，待证等式左边＝1＋2＋3＋…＋(2k＋1)，当 n＝k＋1 时，待证等式左边＝1＋2＋3＋…＋(2k＋1)＋(2k＋2)＋(2k＋3)，所以从 n＝k 到 n＝k＋1，左边需增添的代数式是(2k＋2)＋(2k＋3)．答案：(2k＋2)＋(2k＋3) 用数学归纳法证明等式(师生共研) 用数学归纳法证明：＋＋＋…＋＝(n∈N+)．【证明】 (1)当 n＝1 时，左边＝＝，右边＝＝.左边＝右边，所以等式成立．(2)假设 n＝k(k∈N+且 k≥1)时等式成立，即有＋＋＋…＋＝，则...
