解答题专项突破(一) 导数的综合应用问题函数与导数是高中数学的重要内容之一，常与其他知识相结合，形成难度不同的各类综合题型，常涉及的问题有：研究函数的性质(如函数的单调性、极值、最值)、研究函数的零点(或方程的根、曲线的交点)、求参数的取值范围、不等式的证明或恒成立问题、运用导数解决实际问题等．题型多变，属中、高档难度．热点题型 1 导数的几何意义的应用\s\up7( ) (2019·孝感高中期中)已知函数 f(x)＝x3－x.(1)求曲线 y＝f(x)在点 M(1,0)处的切线方程；(2)如果过点(1，b)可作曲线 y＝f(x)的三条切线，求实数 b 的取值范围．解题思路 (1)求 f′(x)→求斜率 k＝f′(1)→用点斜式写出切线方程．(2)设切点坐标为(x0，x－x0)→写出切线方程→点(1，b)代入切线方程得关于 x0的方程→依据此方程有三个不同的实数解，求 b 的取值范围．规范解答 (1)f′(x)＝3x2－1，∴f′(1)＝2.故切线方程为 y－0＝2(x－1)，即 2x－y－2＝0.(2)设切点为(x0，x－x0)，则切线方程为 y－(x－x0)＝f′(x0)(x－x0)．又切线过点(1，b)，所以(3x－1)(1－x0)＋x－x0＝b，即 2x－3x＋b＋1＝0.由题意，上述关于 x0的方程有三个不同的实数解．记 g(x)＝2x3－3x2＋b＋1，则 g(x)有三个不同的零点，而 g′(x)＝6x(x－1)，令 g′(x)＝0 得 x＝0 或 x＝1，则结合图象可知 g(0)g(1)<0 即可，可得 b∈(－1,0)．热点题型 2 利用导数研究函数的性质\s\up7( ) 已知函数 f(x)＝2x3－3ax2＋3a－2(a>0)，记 f′(x)为 f(x)的导函数．(1)若 f(x)的极大值为 0，求实数 a 的值；(2)若函数 g(x)＝f(x)＋6x，求 g(x)在[0,1]上取到最大值时 x 的值．解题思路 (1)求 f′(x)→解 f′(x)＝0→用所得解分割定义域→逐个区间分析 f′(x)的符号，得 f(x)的单调性→求极大值→根据极大值为 0 列方程求 a.(2)难点突破——分类讨论易求 g′(x)＝6(x2－ax＋1)，x∈[0,1]．① 由 g′(x)＝0 是否有解想到分(Ⅰ)Δ≤0，即 0
0，即 a>2.② 当 g′(x)＝0 时，分析 g′(x)的图象(Ⅰ)对称轴 x＝与 x＝1，x＝0 的位置关系．(Ⅱ)g′(x)＝0 的两个根与 0 和 1 的大小关系．规范解答 (1)因为 f(x)＝2x3－3ax2＋3a－2(a>0)，所以 f′(x)＝6x2－6ax＝6x(x－a)．令 f′(x)＝0，得 x＝0 或 a.当 x∈(－∞，0)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当 x∈(0，a)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当 x∈(a，＋∞)时，f′(...
