第六节 立体几何中的综合问题(对应学生用书第 140 页)⊙考点 1 线面位置关系与体积计算 转化思想的应用(1)证明线面平行、面面平行可转化为证明线线平行；证明线线平行可以转化为证明线面平行或面面平行．(2)从解题方法上讲，由于线线垂直、线面垂直、面面垂直之间可以相互转化，因此整个解题过程始终沿着线线垂直、线面垂直、面面垂直的转化途径进行．(3)求几何体的体积也常用转化法．如三棱锥顶点和底面的转化，几何体的高利用平行、中点，比例关系的转化等． (2019·郑州模拟)如图，在四棱锥 PABCD 中，△PAD 是等腰直角三角形，且∠APD＝90°，∠ABC＝90°，AB∥CD，AB＝2CD＝2BC＝8，平面 PAD⊥平面 ABCD，M 是 PC 的三等分点(靠近 C 点处)．(1)求证：平面 MBD⊥平面 PAD；(2)求三棱锥 DMAB 的体积．[解](1)证明：由题易得 BD＝AD＝4，∴AB2＝AD2＋BD2，∴BD⊥AD. 平面 PAD⊥平面 ABCD，平面 PAD∩平面 ABCD＝AD，BD平面 ABCD，∴BD⊥平面 PAD.又 BD平面 MBD，∴平面 MBD⊥平面 PAD.(2)过点 P 作 PO⊥AD 交 AD 于点 O(图略)， 平面 PAD⊥平面 DAB，平面 PAD∩平面 DAB＝AD，∴PO⊥平面 DAB，∴点 P 到平面 DAB 的距离为 PO＝2.∴VDMAB＝VMDAB＝S△DAB·PO＝××(4)2××2＝. 解答本例第(2)问时，利用比例关系求出点 M 到平面 ABCD 的距离． 已知边长为 2 的正方形 ABCD 与菱形 ABEF 所在平面互相垂直，M 为 BC 中点．(1)求证：EM∥平面 ADF；(2)若∠ABE＝60°，求四面体 MACE 的体积．[解](1)证明： 四边形 ABCD 是正方形，∴BC∥AD. BC平面 ADF，AD平面 ADF，∴BC∥平面 ADF. 四边形 ABEF 是菱形，∴BE∥AF. BE平面 ADF，AF平面 ADF，∴BE∥平面 ADF. BC∥平面 ADF，BE∥平面 ADF，BC∩BE＝B，∴平面 BCE∥平面 ADF. EM平面 BCE，∴EM∥平面 ADF.(2)取 AB 中点 P，连接 PE. 在菱形 ABEF 中，∠ABE＝60°，∴△AEB 为正三角形，∴EP⊥AB. AB＝2，∴EP＝. 平面 ABCD⊥平面 ABEF，平面 ABCD∩平面 ABEF＝AB，∴EP⊥平面 ABCD，∴EP 为四面体 EACM 的高．∴VMACE＝VEACM＝S△ACM·EP＝××1×2×＝.⊙考点 2 平面图形的翻折问题 解决平面图形翻折问题的步骤 (2019·全国卷Ⅲ)图 1 是由矩形 ADEB，Rt△ABC 和菱形 BFGC 组成的一个平面图形，其中 AB＝1，BE＝BF＝2，∠FBC＝60°.将其沿 AB，BC 折起使得 BE 与 BF ...
