第 2 讲 数列的求和问题高考对数列求和的考查主要以解答题的形式出现，通过分组转化、错位相减、裂项相消等方法求一般数列的和，体现转化与化归的思想.热点一 分组转化求和有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比数列或常见的数列，即先分别求和，然后再合并．例 1 (2017·山东省平阴县第一中学模拟)已知数列{an}是等差数列，其前 n 项和为 Sn，数列{bn}是公比大于 0 的等比数列，且 b1＝－2a1＝2，a3＋b2＝－1，S3＋2b3＝7.(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；(2)令 cn＝求数列{cn}的前 n 项和 Tn.解 (1)设数列{an}的公差为 d，{bn}的公比为 q，且 q>0，由题易知，a1＝－1，b1＝2，由得解得 q＝2，此时 d＝－2，∴an＝－2n＋1，bn＝2n.(2)由(1)知，an＝－2n＋1，bn＝2n，∴cn＝当 n 为偶数时，奇数项和偶数项各有项，∴Tn＝(c1＋c3＋c5＋…＋cn－1)＋(c2＋c4＋…＋cn)＝n＋(c2＋c4＋…＋cn)，令 Hn＝c2＋c4＋c6＋…＋cn，∴Hn＝＋＋＋…＋＋，Hn＝＋＋…＋＋，以上两式相减，得Hn＝＋＋＋…＋－＝－－＝－－＝－，∴Hn＝－.故当 n 为偶数时，Tn＝＋n－，当 n(n≥3)为奇数时，n－1 为偶数，Tn＝Tn－1＋an＝＋(n－1)－＋2＝＋n－，经验证，n＝1 也适合上式．综上，得 Tn＝思维升华 在处理一般数列求和时，一定要注意使用转化思想．把一般的数列求和转化为等差数列或等比数列进行求和，在求和时要分析清楚哪些项构成等差数列，哪些项构成等比数列，清晰正确地求解．在利用分组求和法求和时，由于数列的各项是正负交替的，所以一般需要对项数 n 进行讨论，最后再验证是否可以合并为一个公式．跟踪演练 1 (2017 届广东省揭阳市模拟)已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝＋n＋1.(1)求证：数列是等比数列；(2)求数列{an}的前 n 项和 Sn.(1)证明 方法一 由已知得＝2·＋1，∴＋1＝2，又 a1＋1＝2，an>0，∴＋1≠0，∴＝2，∴数列是首项为 2，公比为 2 的等比数列．方法二 由 an＋1＝＋n＋1，得 nan＋1＝2(n＋1)an＋n(n＋1)，由 a1>0 及递推关系，可知 an>0，∴＋1≠0，∴＝＝＝2，又 a1＝1，∴＋1＝2，∴数列是首项为 2，公比为 2 的等比数列．(2)解 由(1)得＋1＝2·2n－1＝2n，∴an＝n·2n－n，Sn＝2＋2×22＋3×23＋…＋(n－1)2n－1＋n×2n－[1＋2＋3＋…＋(n－1)＋n]，设 Tn＝2＋2×22＋3×23＋…＋(n－1)2n－1＋n×2n，①则 2Tn＝22＋2×23＋...
