第 5 讲 椭圆一、知识梳理1．椭圆的概念平面内与两个定点 F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．集合 P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中 a>0，c>0，且 a，c 为常数：(1)若 a > c ，则集合 P 为椭圆．(2)若 a ＝ c ，则集合 P 为线段．(3)若 a < c ，则集合 P 为空集．2．椭圆的标准方程和几何性质标准方程＋＝1(a＞b＞0)＋＝1(a＞b＞0)图形性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a对称性对称轴：x 轴、y 轴对称中心：(0，0)顶点A1(－a，0)，A2(a，0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b，0)，B2(b，0)轴长轴 A1A2的长为 2 a 短轴 B1B2的长为 2 b 焦距|F1F2|＝2 c 离心率e＝，e∈(0，1)a，b，c的关系c2＝a 2 － b 2 3.点与椭圆的位置关系已知点 P(x0，y0)，椭圆＋＝1(a>b>0)，则(1)点 P(x0，y0)在椭圆内⇔＋<1.(2)点 P(x0，y0)在椭圆上⇔＋＝1.(3)点 P(x0，y0)在椭圆外⇔＋>1.常用结论(1)焦半径：椭圆上的点 P(x0，y0)与左(下)焦点 F1与右(上)焦点 F2之间的线段的长度叫作椭圆的焦半径，分别记作 r1＝|PF1|，r2＝|PF2|.①＋＝1(a>b>0)，r1＝a＋ex0，r2＝a－ex0；②＋＝1(a>b>0)，r1＝a＋ey0，r2＝a－ey0；③ 焦半径中以长轴端点的焦半径最大和最小(近日点与远日点)．(2)焦点三角形：椭圆上的点 P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫作焦点三角形．r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为 S，则在椭圆＋＝1(a>b>0)中：① 当 r1＝r2时，即点 P 的位置为短轴端点时，θ 最大；②S＝b2tan ＝c|y0|，当|y0|＝b 时，即点 P 的位置为短轴端点时，S 取最大值，最大值为 bc.(3)焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长 lmin＝.(4)AB 为椭圆＋＝1(a>b>0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点 M(x0，y0)，则① 弦长 l＝|x1－x2|＝|y1－y2|；② 直线 AB 的斜率 kAB＝－.二、教材衍化1．若 F1(－3，0)，F2(3，0)，点 P 到 F1，F2 距离之和为 10，则 P 点的轨迹方程是( )A.＋＝1 B．＋＝1C.＋＝1 D．＋＝1 或＋＝1解析：选 A.设点 P 的坐标为(x，y)，因为|PF1|＋|PF2|＝10>|F1F2|＝6，所以点 P 的轨迹是以 F1，F2为焦点的椭圆，其中 a＝5，c＝3，b＝＝4，故点 P 的轨迹方程为＋＝1.故选A.2．设椭圆的两个焦点分别...
