第 5 节 椭 圆考试要求 1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.知 识 梳 理1.椭圆的定义在平面内与两定点 F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.其数学表达式：集合 P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中 a＞0，c＞0，且 a，c 为常数：(1)若 a ＞ c ，则集合 P 为椭圆；(2)若 a ＝ c ，则集合 P 为线段；(3)若 a ＜ c ，则集合 P 为空集.2.椭圆的标准方程和几何性质标准方程＋＝1(a>b>0)＋＝1(a>b>0)图形性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0)轴长轴 A1A2的长为 2 a ；短轴 B1B2的长为 2 b 焦距|F1F2|＝2 c 离心率e＝∈(0 ， 1) a，b，c 的关系c2＝a 2 － b 2 [常用结论与微点提醒]1.点 P(x0，y0)和椭圆的位置关系(1)点 P(x0，y0)在椭圆内⇔＋<1；(2)点 P(x0，y0)在椭圆上⇔＋＝1；(3)点 P(x0，y0)在椭圆外⇔＋>1.2.若点 P 在椭圆上，F 为椭圆的一个焦点，则(1)b≤|OP|≤a；(2)a－c≤|PF|≤a＋c.3.焦点三角形：椭圆上的点 P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫作焦点三角形，r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为 S，则在椭圆＋＝1(a>b>0)中；(1)当 r1＝r2时，即点 P 的位置为短轴端点时，θ 最大；(2)S＝b2tan ＝c|y0|，当|y0|＝b 时，即点 P 的位置为短轴端点时，S 取最大值，最大值为bc.4.焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长 lmin＝.5.AB 为椭圆＋＝1(a>b>0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点 M(x0，y0)，则直线 AB 的斜率kAB＝－.诊 断 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)平面内与两个定点 F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.( )(2)椭圆的离心率 e 越大，椭圆就越圆.( )(3)方程 mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲线是椭圆.( )(4)＋＝1(a>b>0)与＋＝1(a>b>0)的焦距相同.( )解析 (1)由椭圆的定义知，当该常数大于|F1F2|时，其轨迹才是椭圆，而常数等于|F1F2|时，其轨迹为线段 F1F2，常数小于|F1F2|时，不存在这样的图形.(2)因为 e＝＝＝，所以 e 越大，则...
