第 9 讲 圆锥曲线的综合问题一、知识梳理1．直线与圆锥曲线的位置关系(1)从几何角度看，可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异的公共点．(2)从代数角度看，可通过将表示直线的方程代入二次曲线的方程消元后所得方程解的情况来判断．设直线 l 的方程为 Ax＋By＋C＝0，圆锥曲线方程为 f(x，y)＝0.由消元(如消去 y)，得 ax2＋bx＋c＝0.① 若 a ＝ 0 ，当圆锥曲线是双曲线时，直线 l 与双曲线的渐近线平行；当圆锥曲线是抛物线时，直线 l 与抛物线的对称轴平行(或重合)；② 若 a≠0，Δ＝b2－4ac.a．当 Δ ＞ 0 时，直线和圆锥曲线相交于不同两点；b．当 Δ ＝ 0 时，直线和圆锥曲线相切于一点；c．当 Δ ＜ 0 时，直线和圆锥曲线没有公共点．2．直线与圆锥曲线相交时的弦长问题(1)斜率为 k 的直线与圆锥曲线交于两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长：|P1P2|＝＝·|x1－x2|＝＝| y 1－ y 2|．(2)斜率不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用两点间距离公式)．(3)直线 l 与曲线 C 相交于 P，Q 两点，联立直线方程与曲线方程，消去 y 得 Ax2＋Bx＋C＝0，Δ＝B2－4AC>0，则|PQ|＝.3．圆锥曲线的中点弦问题遇到弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．在椭圆＋＝1 中，以 P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率 k＝－；在双曲线－＝1 中，以 P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率 k＝；在抛物线 y2＝2px(p＞0)中，以 P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率 k＝．在使用根与系数关系时，要注意前提条件是 Δ≥0.常用结论过一点的直线与圆锥曲线的位置关系的特点(1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切；过椭圆上一点有且只有一条直线与椭圆相切；过椭圆内一点的直线与椭圆相交．(2)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条与对称轴平行或重合的直线．(3)过双曲线外不在渐近线上的一点总有四条直线与双曲线有且只有一个交点：两条切线和两条与渐近线平行的直线；过双曲线上一点总有三条直线与双曲线有且只有一个交点：一条切线和两条与渐近线平行的直线；过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点：两条与渐近线平行的直线．二、教材衍化...
