第九节 圆锥曲线中的定点、定值、范围、最值问题[考纲传真] 1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法；2.了解圆锥曲线的简单应用；3.理解数形结合的思想．定点问题【例 1】 已知椭圆 E：＋＝1(b＞0)的一个焦点与抛物线 Γ：y2＝2px(p＞0)的焦点 F相同，如图，作直线 AF 与 x 轴垂直，与抛物线在第一象限交于 A 点，与椭圆 E 相交于 C，D 两点，且|CD|＝.(1)求抛物线 Γ 的标准方程；(2)设直线 l 不经过 A 点且与抛物线 Γ 相交于 N，M两点，若直线 AN，AM 的斜率之积为 1，证明 l 过定点．[解] (1)由椭圆 E：＋＝1(b＞0)，得 b2＝9－c2，由题可知 F(c,0)，p＝2c，把 x＝c 代入椭圆 E 的方程，得 y＝b2，∴yC＝.∴|CD|＝＝，解得 c＝2.∴抛物线 Γ 的标准方程为 y2＝4cx，即 y2＝8x.(2)证明：由(1)得 A(2,4)，设 M，N，∴kMA＝＝，kNA＝，由 kMA·kNA＝·＝1，得 y1y2＋4(y1＋y2)－48＝0.(*)设直线 l 的方程为 x＝my＋t，由得 y2－8my－8t＝0，∴y1＋y2＝8m，y1y2＝－8t，代入(*)式得 t＝4m－6，∴直线 l 的方程为 x＝my＋4m－6＝m(y＋4)－6，∴直线 l 过定点(－6，－4)．[规律方法] 圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．(2)特殊到一般法，根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关． 过抛物线 C：y2＝4x 的焦点 F 且斜率为 k 的直线 l 交抛物线 C 于 A，B 两点，且|AB|＝8.(1)求 l 的方程；(2)若 A 关于 x 轴的对称点为 D，求证：直线 BD 过定点，并求出该点的坐标．[解] (1)易知点 F 的坐标为(1,0)，则直线 l 的方程为 y＝k(x－1)，代入抛物线方程 y2＝4x 得 k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，由题意知 k≠0，且 Δ＝[－(2k2＋4)]2－4k2·k2＝16(k2＋1)＞0，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴x1＋x2＝，x1x2＝1，由抛物线的定义知|AB|＝x1＋x2＋2＝8，∴＝6，∴k2＝1，即 k＝±1，∴直线 l 的方程为 y＝±(x－1)．(2)由抛物线的对称性知，D 点的坐标为(x1，－y1)，直线 BD 的斜率 kBD＝＝＝，∴直线 BD 的方程为 y＋y1＝(x－x1)，即(y2－y1)y＋y2y1－y＝4x－4x1， y＝4x1，y＝4x2，x1x2＝1，∴(y1y2)2＝16x1x2＝16，即 y1y2＝－4(y1，y2异号)，∴直线 BD 的方程为 4(x＋1)＋(y1－y2)y＝0，恒过点(－1,0)．定...
