第 2 课时 直线与椭圆的综合问题(对应学生用书第 156 页)⊙考点 1 直线与椭圆的位置关系 直线与椭圆位置关系判断的步骤(1)联立直线方程与椭圆方程．(2)消元得出关于 x(或 y)的一元二次方程．(3)当 Δ＞0 时，直线与椭圆相交；当 Δ＝0 时，直线与椭圆相切；当 Δ＜0 时，直线与椭圆相离． 1.若直线 y＝kx＋1 与椭圆＋＝1 总有公共点，则 m 的取值范围是( )A．m＞1 B．m＞0C．0＜m＜5 且 m≠1D．m≥1 且 m≠5D [直线 y＝kx＋1 恒过定点(0,1)，则点(0,1)在椭圆＋＝1 内部或椭圆上，从而≤1，又 m＞0，则 m≥1，因为椭圆＋＝1 中，m≠5.所以 m 的取值范围是 m≥1 且 m≠5，故选 D.]2．过点 M(－4,4)作椭圆＋＝1 的切线，切点 N 在第一象限，设椭圆的左焦点为 F，则直线 NF 的斜率为________． [设 N(x，y)，直线 MN 的斜率为 k.M(－4,4)，则直线 MN 的方程为 y－4＝k(x＋4)，代入椭圆方程消去 y，整理得(3＋4k2)x2＋8mkx＋(4m2－12)＝0，其中 m＝4k＋4，由于相切，所以 Δ＝0，所以 m2＝4k2＋3，所以解得 k＝－，－，代入求得切点 N，所以直线 NF 的斜率为 kNF＝＝.]3．已知直线 l：y＝2x＋m，椭圆 C：＋＝1.试问当 m 取何值时，直线 l 与椭圆 C：(1)有两个不重合的公共点；(2)有且只有一个公共点；(3)没有公共点．[解] 将直线 l 的方程与椭圆 C 的方程联立，得方程组将①代入②，整理得 9x2＋8mx＋2m2－4＝0.③方程③根的判别式 Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.(1)当 Δ>0，即－33 时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线 l 与椭圆 C 没有公共点． T2中求切点的横坐标时，可直接使用求根公式 x1＝x2＝－(其中 a，b 分别是一元二次方程的二次项系数和一次项系数)．⊙考点 2 直线与椭圆相交的弦长问题 弦长的求解方法(1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解．(2)当直线的斜率存在时，设直线与椭圆的交点坐标为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝＝(k 为直线斜...
