第七节 双曲线[最新考纲] 1.了解双曲线的实际背景，了解双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).3.理解数形结合思想.4.了解双曲线的简单应用．(对应学生用书第 161 页)1．双曲线的定义(1)平面内到两定点 F1、F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|的点的集合叫作双曲线，定点 F1，F2叫作双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫作双曲线的焦距．(2)集合 P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中 a，c 为常数且 a＞0，c＞0.① 当 2 a ＜ | F 1F2|时，M 点的轨迹是双曲线；② 当 2 a ＝ | F 1F2|时，M 点的轨迹是两条射线；③ 当 2 a ＞ | F 1F2|时，M 点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程－＝1(a＞0，b＞0)－＝1(a＞0，b＞0)图形性质范围x≥a 或 x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a 或 y≥a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点坐标A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±xy＝±x离心率e＝＝∈(1，＋∞)实、虚轴线段 A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2 a ；线段 B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2 b ；a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长a，b，c 的关系c2＝a 2 ＋ b 2 (c＞a＞0，c＞b＞0)3.等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为 y ＝ ± x ，离心率为 e＝.[常用结论]1．过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为，也叫通径．2．双曲线的焦点到其渐近线的距离为 b.3．若 P 是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a ＋ c ，|PF2|min＝c － a .4．与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)有共同渐近线的方程可表示为－＝ t ( t ≠0) ．5．当已知双曲线的渐近线方程为 bx ± ay ＝ 0 ，求双曲线方程时，可设双曲线方程为 b 2 x 2 － a 2 y 2 ＝ λ ( λ ≠0) ．一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内到点 F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于 8 的点的轨迹是双曲线．( )(2)方程－＝1(mn>0)表示焦点在 x 轴上的双曲线．( )(3)双曲线－＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是－＝0，即±＝0.( )(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.( )[答案](1)× (2)× (3)√ (4)√二、教材改编1．双曲线－＝1 的...
