第九节 圆锥曲线中的定点、定值问题[最新考纲] 会证明与曲线上动点有关的定值问题，会处理动曲线(含直线)过定点的问题．考点 1 定点问题 直线过定点 1.动直线 l 过定点问题的基本思路设动直线方程(斜率存在)为 y＝kx＋t，由题设条件将 t 用 k 表示为 t＝mk，得 y＝k(x＋m)，故动直线过定点(－m,0)．2．动直线 l 过定点问题的解题步骤第一步：设 AB 直线 y＝kx＋m，联立曲线方程得根与系数关系，Δ 求出参数范围；第二步：由 AP 与 BP 关系(如 kAP·kBP＝－1)，得一次函数 k＝f(m)或者 m＝f(k)；第三步：将 k＝f(m)或者 m＝f(k)代入 y＝kx＋m，得 y＝k(x－x 定)＋y 定． (2017·全国卷Ⅰ)已知椭圆 C：＋＝1(a＞b＞0)，四点 P1(1,1)，P2(0,1)，P3，P4中恰有三点在椭圆 C 上．(1)求 C 的方程；(2)设直线 l 不经过 P2点且与 C 相交于 A，B 两点．若直线 P2A 与直线 P2B 的斜率的和为－1，证明：l 过定点．[解] (1)由于 P3，P4两点关于 y 轴对称，故由题设知椭圆 C 经过 P3，P4两点．又由＋＞＋知，椭圆 C 不经过点 P1，所以点 P2在椭圆 C 上．因此解得故椭圆 C 的方程为＋y2＝1.(2)证明：设直线 P2A 与直线 P2B 的斜率分别为 k1，k2.如果 l 与 x 轴垂直，设 l：x＝t，由题设知 t≠0，且|t|＜2，可得 A，B 的坐标分别为，，则k1＋k2＝－＝－1，得 t＝2，不符合题设．从而可设 l：y＝kx＋m(m≠1)．将 y＝kx＋m 代入＋y2＝1 得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.由题设可知 Δ＝16(4k2－m2＋1)>0.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1＋x2＝－，x1x2＝.而 k1＋k2＝＋＝＋＝.由题设 k1＋k2＝－1，故(2k＋1)x1x2＋(m－1)(x1＋x2)＝0.即(2k＋1)·＋(m－1)·＝0，解得 k＝－.当且仅当 m＞－1 时，Δ＞0，于是 l：y＝－x＋m，即 y＋1＝－(x－2)，所以 l 过定点(2，－1)． 本题为“弦对定点张直角”的一个例子：圆锥曲线如椭圆上任意一点 P 做相互垂直的直线交圆锥曲线于 AB，则 AB 必过定点.本题还可以拓展为“手电筒”模型：只要任意一个限定 AP 与 BP 条件(如 kAP·kBP＝定值，1kAP＋kBP＝定值)，直线 AB 依然会过定点．[教师备选例题]过抛物线 C：y2＝4x 的焦点 F 且斜率为 k 的直线 l 交抛物线 C 于 A，B 两点，且|AB|＝8.(1)求 l 的方程；(2)若 A 关于 x 轴的对称点为 D，求证：直线 BD 过定点，并求出该点的坐标．[解] (...
