第十节 圆锥曲线中的范围、最值问题[最新考纲] 1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法.2. 理解数形结合的思想.3. 会求与圆锥曲线有关的范围、最值问题．考点 1 范围问题 求参数范围的 4 种方法(1)函数法：用其他变量表示该参数，建立函数关系，利用求函数值域的方法求解．(2)不等式法：根据题意建立含参数的不等式，通过解不等式求参数范围．(3)判别式法：建立关于某变量的一元二次方程，利用判别式 Δ 求参数的范围．(4)数形结合法：研究该参数所表示的几何意义，利用数形结合思想求解． (2019·山师附中模拟)已知椭圆 C：＋＝1，直线 l：y＝kx＋m(m≠0)，设直线 l与椭圆 C 交于 A，B 两点．(1)若|m|>，求实数 k 的取值范围；(2)若直线 OA，AB，OB 的斜率成等比数列(其中 O 为坐标原点)，求△OAB 的面积的取值范围．[解] (1)联立方程＋＝1 和 y＝kx＋m，得(2＋3k2)x2＋6kmx＋3m2－6＝0，所以 Δ＝(6km)2－4(2＋3k2)(3m2－6)>0，所以 m2<2＋3k2，所以 2＋3k2>3，即 k2>，解得 k>或 k<－.所以实数 k 的取值范围为∪.(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1＋x2＝，x1x2＝.设直线 OA，OB 的斜率分别为 k1，k2，因为直线 OA，AB，OB 的斜率成等比数列，所以 k1k2＝＝k2，即＝k2(m≠0)，化简得 2＋3k2＝6k2，即 k2＝.因为|AB|＝|x1－x2|＝，点 O 到直线 l 的距离 h＝＝|m|，所以 S△OAB＝|AB|·h＝·≤×＝，当 m＝±时，直线 OA 或 OB 的斜率不存在，等号取不到，所以△OAB 的面积的取值范围为. 本例求解采用了学生熟知的两种方法：不等式法和判别式法，利用判别式构建目标不等式的核心是抓住直线与圆锥曲线的位置关系和判别式 Δ 的关系建立目标不等式．[教师备选例题](2019·江南十校联考)已知右焦点为 F2(c,0)的椭圆 C：＋＝1(a>b>0)过点，且椭圆 C 关于直线 x＝c 对称的图形过坐标原点．(1)求椭圆 C 的方程；(2)过点作直线 l 与椭圆 C 交于 E，F 两点，线段 EF 的中点为 M，点 A 是椭圆 C 的右顶点，求直线 MA 的斜率 k 的取值范围．[解] (1) 椭圆 C 过点，∴＋＝1，① 椭圆 C 关于直线 x＝c 对称的图形过坐标原点，1∴a＝2c， a2＝b2＋c2，∴b2＝a2，②由①②得 a2＝4，b2＝3，∴椭圆 C 的方程为＋＝1.(2)依题意，直线 l 过点且斜率不为零，故可设其方程为 x＝my＋.由方程组消去 x，并整理得4(3m2＋4)y2＋12my－45＝0.设 E...
