坐标系与参数方程第一节坐标系1.平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点 P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换φ:的作用下,点 P(x,y)对应到点 P′(x′,y′),称 φ 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.2.极坐标系的概念(1)极坐标系如图所示,在平面内取一个定点 O,叫做极点;自极点 O 引一条射线 Ox,叫做极轴;再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.(2)极坐标① 极径:设 M 是平面内一点,极点 O 与点 M 的距离|OM|叫做点 M 的极径,记为 ρ.② 极角:以极轴 Ox 为始边,射线 OM 为终边的角 xOM 叫做点 M 的极角,记为 θ.③ 极坐标:有序数对(ρ,θ)叫做点 M 的极坐标,记为 M(ρ,θ). 一般不作特殊说明时,我们认为 ρ≥0,θ 可取任意实数.3.极坐标与直角坐标的互化设 M 是平面内任意一点,它的直角坐标是(x,y),极坐标是(ρ,θ),则它们之间的关系为:4.简单曲线的极坐标方程曲线极坐标方程圆心为极点,半径为 r 的圆ρ=r(0≤θ<2π)圆心为(r,0),半径为 r 的圆ρ=2rcos θ圆心为,半径为 r 的圆ρ=2rsin θ(0≤θ<π)过极点,倾斜角为 α 的直线θ=α(ρ∈R)或 θ=π+α(ρ∈R)过点(a,0),与极轴垂直的直线ρcos θ=a过点,与极轴平行的直线ρsin θ=a(0<θ<π)1.若点 P 的直角坐标为(3,-),则点 P 的极坐标为______.解析:因为点 P(3,-)在第四象限,与原点的距离为 2,且 OP 与 x 轴所成的角为-,所以点 P 的极坐标为.答案:2.圆 ρ=5cos θ-5sin θ 的圆心的极坐标为________.解析:将方程 ρ=5cos θ-5sin θ 两边都乘以 ρ,得 ρ2=5ρcos θ-5ρsin θ,化成直角坐标方程为 x2+y2-5x+5y=0.圆心坐标为,化成极坐标为.答案:(答案不唯一)3.在极坐标系中 A,B 两点间的距离为________.解析:法一:(数形结合)在极坐标系中,A,B 两点如图所示,|AB|=|OA|+|OB|=6.法二: A,B 的直角坐标为 A(1,-),B(-2,2).∴|AB|==6.答案:64.在极坐标系中,圆 ρ=4sin θ 的圆心到直线 θ=(θ∈R)的距离是________.解析:设圆心到直线 θ=(θ∈R)的距离为 d,因为圆的半径为 2, d=2·sin=1.答案:1 [考什么·怎么考]1.求椭圆+y2=1 经过伸缩变换后的曲线方程.解:由得到①将①代入+y2=1,得+y′2...