第 4 讲 基本不等式一、知识梳理1．基本不等式≤(1)基本不等式成立的条件：a ≥0 ， b ≥0 ．(2)等号成立的条件：当且仅当 a ＝ b 时取等号．2．几个重要的不等式(1)a2＋b2≥2 ab (a，b∈R)．(2)＋≥2(a，b 同号)．(3)ab≤(a，b∈R)．(4)≥(a，b∈R)．以上不等式等号成立的条件均为 a＝b.3．算术平均数与几何平均数设 a>0，b>0，则 a，b 的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正实数的算术平均数不小于它们的几何平均数．常用结论已知 x>0，y>0，则(1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当 x＝y 时，x＋y 有最小值是 2.(简记：积定和最小)(2)如果和 x＋y 是定值 p，那么当且仅当 x＝y 时，xy 有最大值是.(简记：和定积最大)二、教材衍化1．设 x＞0，y＞0，且 x＋y＝18，则 xy 的最大值为________．解析：因为 x>0，y>0，所以≥，即 xy≤＝81，当且仅当 x＝y＝9 时，(xy)max＝81.答案：812．若把总长为 20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m2.解析：设矩形的一边为 x m，则另一边为×(20－2x)＝(10－x)m，所以 y＝x(10－x)≤＝25，当且仅当 x＝10－x，即 x＝5 时，ymax＝25.答案：25一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数 y＝x＋的最小值是 2.( )(2)ab≤成立的条件是 ab>0.( )(3)“x>0 且 y>0”是“＋≥2”的充要条件．( )(4)若 a>0，则 a3＋的最小值是 2.( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)×二、易错纠偏(1)忽视基本不等式成立的条件；(2)基本不等式不会变形使用．1． “x>0”是“x＋≥2 成立”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：选 C.当 x>0 时，x＋≥2＝2.因为 x，同号，所以若 x＋≥2，则 x>0，>0，所以“x>0”是“x＋≥2 成立”的充要条件，故选 C.2．设 x>0，则函数 y＝x＋－的最小值为________．解析：y＝x＋－＝＋－2≥2－2＝0，当且仅当 x＋＝，即 x＝时等号成立．所以函数的最小值为 0.答案：0 利用基本不等式求最值(多维探究)角度一 通过配凑法利用基本不等式求最值 (1)已知 01)的最小值为________．【解析】 (1)x(4－3x)＝·(3x)(4－3x)≤·＝，当且仅当 3x＝4－3x，即 x＝时，取等号．(2)y＝＝＝＝(x－1)＋＋2≥2＋2.当且仅当(x－1)＝，即 x＝＋1 ...
