第 4 讲 基本不等式一、知识梳理1．基本不等式≤(1)基本不等式成立的条件：a ≥0 ， b ≥0 ．(2)等号成立的条件：当且仅当 a ＝ b 时取等号．2．几个重要的不等式(1)a2＋b2≥2 ab (a，b∈R)．(2)＋≥2(a，b 同号)．(3)ab≤(a，b∈R)．(4)≥(a，b∈R)．以上不等式等号成立的条件均为 a＝b
3．算术平均数与几何平均数设 a>0，b>0，则 a，b 的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正实数的算术平均数不小于它们的几何平均数．常用结论已知 x>0，y>0，则(1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当 x＝y 时，x＋y 有最小值是 2
(简记：积定和最小)(2)如果和 x＋y 是定值 p，那么当且仅当 x＝y 时，xy 有最大值是
(简记：和定积最大)二、教材衍化1．设 x＞0，y＞0，且 x＋y＝18，则 xy 的最大值为________．解析：因为 x>0，y>0，所以≥，即 xy≤＝81，当且仅当 x＝y＝9 时，(xy)max＝81
答案：812．若把总长为 20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m2
解析：设矩形的一边为 x m，则另一边为×(20－2x)＝(10－x)m，所以 y＝x(10－x)≤＝25，当且仅当 x＝10－x，即 x＝5 时，ymax＝25
答案：25一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数 y＝x＋的最小值是 2
( )(2)ab≤成立的条件是 ab>0
( )(3)“x>0 且 y>0”是“＋≥2”的充要条件．( )(4)若 a>0，则 a3＋的最小值是 2
( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)×二、易错纠偏(1)忽视基本不等式成立的条件；(2)基本不等式不会变形使用．1． “x>0”是“x＋≥2 成立”
