高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 第2讲 导数的应用 第3课时 利用导数证明不等式教学案 理 北师大版-北师大版高三全册数学教学案

第 3 课时 利用导数证明不等式方法一：移项补充构造法 (2020·江西赣州模拟)已知函数 f(x)＝1－，g(x)＝＋－bx，若曲线 y＝f(x)与曲线 y＝g(x)的一个公共点是 A(1，1)，且在点 A 处的切线互相垂直．(1)求 a，b 的值；(2)证明：当 x≥1 时，f(x)＋g(x)≥.【解】 (1)因为 f(x)＝1－，所以 f′(x)＝，f′(1)＝－1.因为 g(x)＝＋－bx，所以 g′(x)＝－－－b.因为曲线 y＝f(x)与曲线 y＝g(x)的一个公共点是 A(1，1)，且在点 A 处的切线互相垂直，所以 g(1)＝1，且 f′(1)·g′(1)＝－1，所以 g(1)＝a＋1－b＝1，g′(1)＝－a－1－b＝1，解得 a＝－1，b＝－1.(2)证明：由(1)知，g(x)＝－＋＋x，则 f(x)＋g(x)≥⇔1－－－＋x≥0.令 h(x)＝1－－－＋x(x≥1)，则 h(1)＝0，h′(x)＝－＋＋＋1＝＋＋1.因为 x≥1，所以 h′(x)＝＋＋1>0，所以 h(x)在[1，＋∞)上是增加的，所以 h(x)≥h(1)＝0，即 1－－－＋x≥0，所以当 x≥1 时，f(x)＋g(x)≥.待证不等式的两边含有同一个变量时，一般地，可以直接构造“左减右”的函数，利用导数研究其单调性，借助所构造函数的单调性即可得证． 已知函数 f(x)＝ax＋xln x 在 x＝e－2(e 为自然对数的底数)处取得极小值．(1)求实数 a 的值；(2)当 x>1 时，求证：f(x)>3(x－1)．解：(1)因为 f(x)＝ax＋xln x，所以 f′(x)＝a＋ln x＋1，因为函数 f(x)在 x＝e－2处取得极小值，所以 f′(e－2)＝0，即 a＋ln e－2＋1＝0，所以 a＝1，所以 f′(x)＝ln x＋2.当 f′(x)>0 时，x>e－2；当 f′(x)<0 时，00)．g′(x)＝ln x－1，由 g′(x)＝0，得 x＝e.由 g′(x)>0，得 x>e；由 g′(x)<0，得 00.于是在(1，＋∞)上，都有 g(x)≥g(e)>0，所以 f(x)>3(x－1)． 方法二：隔离分析法 (2020·福州模拟)已知函数 f(x)＝eln x－ax(a∈R)．(1)讨论 f(x)的单调性；(2)当 a＝e 时，证明：xf(x)－ex＋2ex≤0.【解】 (1)f′(x)＝－a(x>0)，① 若 a≤0，则 f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上是增加的；② 若 a>0，则...