第 3 讲 平面向量的数量积及应用基础知识整合1．向量的夹角定义图示范围共线与垂直已知两个非零向量 a和 b，作OA＝a，OB＝b，则∠ AOB 就是 a 与b 的夹角设 θ 是 a 与 b 的夹角，则 θ 的取值范围是 0°≤θ≤180°θ ＝ 0° 或 θ ＝ 180°⇔a∥b ， θ ＝90°⇔a⊥b2．平面向量的数量积定义设两个非零向量 a，b 的夹角为 θ，则数量|a||b|·cosθ 叫做 a 与 b 的数量积，记作 a·b投影|a|cosθ 叫做向量 a 在 b 方向上的投影，|b|cosθ 叫做向量 b 在 a 方向上的投影几何意义数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cosθ 的乘积3．向量数量积的运算律交换律a·b＝b·a分配律(a＋b)·ca·c＋b·c数乘结合律(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)4．平面向量数量积的有关结论已知非零向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a 与 b 的夹角为 θ.结论几何表示坐标表示模|a|＝|a|＝夹角cosθ＝cosθ＝a⊥b 的充要条件a·b＝0x1x2＋ y 1y2＝ 0 |a·b|与|a||b|的关系|a·b|≤|a||b||x1x2＋y1y2|≤1．数量积运算律要准确理解、应用，例如，a·b＝a·c(a≠0)不能得出 b＝c，两边不能约去一个向量．2．数量积不满足结合律，即(a ·b)·c≠a·(b·c)．3．当 a 与 b 同向时，a·b＝|a||b|；当 a 与 b 反向时，a·b＝－|a||b|，特别地，a·a＝a2或|a|＝.4．有关向量夹角的两个结论：(1)两个向量 a 与 b 的夹角为锐角，则有 a·b>0，反之不成立(因为 a 与 b 夹角为 0 时也有 a·b>0)．(2)两个向量 a 与 b 的夹角为钝角，则有 a·b<0，反之不成立(因为 a 与 b 夹角为 π 时也有 a·b<0)．1．(2019·重庆模拟)已知向量 a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，且(2a－3b)⊥c，则实数 k＝( )A．－ B．0 C．3 D.答案 C解析 因为 2a－3b＝(2k－3，－6)，(2a－3b)⊥c，所以(2a－3b)·c＝2(2k－3)－6＝0，解得 k＝3.选 C.2．(2019·全国卷Ⅱ)已知向量 a＝(2,3)，b＝(3,2)，则|a－b|＝( )A. B．2 C．5 D．50答案 A解析 a－b＝(2,3)－(3,2)＝(－1,1)，∴|a－b|＝＝.故选 A.3．(2019·全国卷Ⅰ)已知非零向量 a，b 满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则 a 与 b 的夹角为( )A. B. C. D.答案 B解析 设 a 与 b 的夹角为 θ， (a－b)⊥b，∴(a－b)·b＝0，即 a·b－|b|2＝0.又a·b＝|a||b|cosθ，|a|＝2|b|，∴2|b|2cosθ－|b|2＝0，∴...
