专题 01 抽象函数问题莫畏难学会“三招”可攻关一．方法综述 抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征式子的一类函数．由于抽象函数表现形式抽象，对学生思维能力考查的起点较高，使得此类问题成为函数内容的难点之一，使多数学生感觉无从下手，望而生畏．事实上，解决此类问题时，只要准确掌握函数的基本性质，熟知我们所学的基本初等函数，将抽象函数问题转化为具体函数问题，问题就迎刃而解了．具体的可概括为函数性质法、赋值法和构造函数法.二．解题策略类型一 函数性质法【例 1】【安徽省肥东县高级中学 2019 届 8 月调研】已知定义在 上的函数满足条件：①对任意的，都有；②对任意的且，都有；③函数的图象关于 轴对称，则下列结论正确的是 （ ）A． B． C． D． 【答案】C【解析】则，，，则，即，故选 C．【指点迷津】1.先研究清楚函数的奇偶性、对称性和周期性等性质，这样函数就不再抽象了，而是变得相对具体，我们就可以画出符合性质的草图来解题.2.解决抽象函数问题常用的结论(1)函数 y＝f(x)关于 x＝对称⇔f(a＋x)＝f(b－x)⇔f(x)＝f(b＋a－x)．特例：函数 y＝f(x)关于 x＝a 对称⇔f(a＋x)＝f(a－x)⇔f(x)＝f(2a－x)；函数 y＝f(x)关于 x＝0 对称⇔f(x)＝f(－x)(即为偶函数)．(2)函数 y＝f(x)关于点(a，b)对称⇔f(a＋x)＋f(a－x)＝2b⇔f(2a＋x)＋f(－x)＝2b.特例：函数 y＝f(x)关于点(a,0)对称⇔f(a＋x)＋f(a－x)＝0⇔f(2a＋x)＋f(－x)＝0；函数 y＝f(x)关于点(0,0)对称⇔f(x)＋f(－x)＝0(即为奇函数)．(3)y＝f(x＋a)是偶函数⇔函数 y＝f(x)关于直线 x＝a 对称；y＝f(x＋a)是奇函数⇔函数 y＝f(x)关于(a,0)对称．(4)对于函数 f(x)定义域内任一自变量的值 x：① 若 f(x＋a)＝－f(x)，则 T＝2a；② 若 f(x＋a)＝，则 T＝2a；③ 若 f(x＋a)＝－，则 T＝2a；(a>0)④ 若 f(x＋a)＝f(x＋b)(a≠b)，则 T＝|a－b|；⑤ 若 f(2a－x)＝f(x)且 f(2b－x)＝f(x)(a≠b)，则 T＝2|b－a|.（5）奇偶函数在对称区间上的单调性：奇函数在对称区间上的单调性相同；偶函数在对称区间上的单调性相反．【举一反三】【2018 年全国卷 II 理】已知是定义域为的奇函数,满足.若，则（ ）A． B． C． D． 【答案】C【解析】因为是定义域为的奇函数，且，所以,因此，因为，所以，，从而，选 C.类型二 赋值法【例 2】【甘肃省兰州市第一中学 2019 届 9 月月考】已知函数...
