高考数学一轮复习统考 第6章 数列 高考大题冲关系列（3）高考中数列问题的热点题型学案（含解析）北师大版-北师大版高三全册数学学案

高考中数列问题的热点题型对应学生用书 P100 命题动向：从近五年高考试题分析来看，等差、等比数列是重要的数列类型，高考考查的主要知识点有：等差、等比数列的概念、性质、前 n 项和公式．由于数列的渗透力很强，它和函数、方程、向量、三角形、不等式等知识相互联系，优化组合，无形中加大了综合的力度．解决此类题目，必须对蕴藏在数列概念和方法中的数学思想有较深的理解．题型 1 等差、等比数列的综合运算例 1 (2019·河南八市第五次测评)已知等差数列{an}中，a3＝3，a2＋2，a4，a6－2 顺次成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)记 bn＝，{bn}的前 n 项和为 Sn，求 S2n.解 (1)设等差数列{an}的公差为 d， a2＋2，a4，a6－2 顺次成等比数列，∴a＝(a2＋2)(a6－2)，∴(a3＋d)2＝(a3－d＋2)(a3＋3d－2)，又 a3＝3，∴(3＋d)2＝(5－d)(1＋3d)，化简得 d2－2d＋1＝0，解得 d＝1，∴an＝a3＋(n－3)d＝3＋(n－3)×1＝n.(2)由(1)得 bn＝＝(－1)n＝(－1)n，∴S2n＝b1＋b2＋b3＋…＋b2n＝－＋－＋…＋＝－1＋＝.[冲关策略] 解决由等差数列、等比数列组成的综合问题，首先要根据两数列的概念，设出相应的基本量，然后充分使用通项公式、求和公式、数列的性质等确定基本量．解综合题的关键在于审清题目，弄懂来龙去脉，揭示问题的内在联系和隐含条件．变式训练 1 (2019·湖南 4 月联考)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 S3＝9，a1，a3，a7成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{an}是递增数列，数列{bn}满足 bn＝2an，Tn是数列{anbn}的前 n 项和，求 Tn并求使 Tn>1000 成立的 n 的最小值．解 (1) S3＝9，∴a2＝3，∴a1＋d＝3，① a1，a3，a7成等比数列，∴a＝a1a7，∴(a1＋2d)2＝a1(a1＋6d)，②由①②得或当时，an＝3，当时，an＝n＋1.(2) 数列{an}是递增数列，∴d≠0，∴an＝n＋1，∴bn＝2n＋1，从而 anbn＝(n＋1)·2n＋1，Tn＝2·22＋3·23＋4·24＋…＋(n＋1)·2n＋1，①2Tn＝2·23＋3·24＋4·25＋…＋(n＋1)·2n＋2，②由①－②，得－Tn＝8＋23＋24＋…＋2n＋1－(n＋1)·2n＋2＝8＋－(n＋1)·2n＋2＝－n·2n＋2，∴Tn＝n·2n＋2，易知数列{Tn}是递增数列，又 T5＝640，T6＝1536，∴使 Tn>1000 成立的n 的最小值为 6.题型 2 数列的通项与求和例 2 (2019·广州调研)已知数列{an}满足 a1＋4a2＋42a3＋…＋4n－1an＝(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设 bn＝，求数列{b...