第六节 空间向量及其运算和空间位置关系2019 考纲考题考情1.空间向量及其有关概念(1)空间向量的有关概念① 空间向量:在空间中,具有大小和方向的量叫做空间向量。② 相等向量:方向相同且模相等的向量。③ 共线向量:表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量。④ 共面向量:平行于同一个平面的向量。(2)空间向量中的有关定理① 共线向量定理:对空间任意两个向量 a,b(b≠0),a∥b⇔存在唯一一个 λ∈R,使a=λ b 。② 共面向量定理:若两个向量 a、b 不共线,则向量 p 与向量 a,b 共面⇔存在唯一的有序实数对(x,y),使 p=x a + y b 。③ 空间向量基本定理:如果三个向量 a、b、c 不共面,那么对空间任一向量 p,存在一个唯一的有序实数组{x,y,z},使得 p=x a + y b + z c 。2.两个向量的数量积(1)非零向量 a,b 的数量积 a·b=|a||b|cos〈a,b〉。(2)空间向量数量积的运算律① 结合律:(λa)·b=λ(a·b);② 交换律:a·b=b·a;③ 分配律:a·(b+c)=a·b+a·c。3.空间向量的坐标表示及其应用设 a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),向量表示坐标表示数量积a·ba1b1+ a 2b2+ a 3b3共线a=λb(b≠0)a1= λb 1, a 2= λb 2, a 3= λb 3垂直a·b=0(a≠0,b≠0)a1b1+ a 2b2+ a 3b3= 0 模|a|夹角〈a,b〉(a≠0,b≠0)cos〈a,b〉=4.向量法证明平行与垂直(1)两个重要向量① 直线的方向向量直线的方向向量是指和这条直线平行(或重合)的非零向量,一条直线的方向向量有无数个。② 平面的法向量直线 l⊥平面 α,取直线 l 的方向向量,则这个向量叫做平面 α 的法向量。显然一个平面的法向量有无数个,它们是共线向量。(2)空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线 l1,l2的方向向量分别为 n1,n2l1∥l2n1∥n2⇔n1=λn2l1⊥l2n1⊥n2⇔n1·n2=0直线 l 的方向向量为 n,平面 α 的法向量为 ml∥αn⊥m⇔m·n=0l⊥αn∥m⇔n=λm平面 α、β 的法向量分别为 n、mα∥βn∥m⇔n=λmα⊥βn⊥m⇔n·m=01.向量三点共线定理在平面中 A,B,C 三点共线的充要条件是:OA=xOB+yOC(其中 x+y=1),O 为平面内任意一点。2.向量四点共面定理在空间中 P,A,B,C 四点共面的充要条件是:OP=xOA+yOB+zOC(其中 x+y+z=1),O 为空间中任意一点。一、走进教材1.(选修 2-1P97A 组 T2改编)如图,平行六面体...