高考数学一轮复习 第七章 立体几何 第六节 空间向量及其运算和空间位置关系学案 理（含解析）新人教A版-新人教A版高三全册数学学案

第六节 空间向量及其运算和空间位置关系2019 考纲考题考情1．空间向量及其有关概念(1)空间向量的有关概念① 空间向量：在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量。② 相等向量：方向相同且模相等的向量。③ 共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量。④ 共面向量：平行于同一个平面的向量。(2)空间向量中的有关定理① 共线向量定理：对空间任意两个向量 a，b(b≠0)，a∥b⇔存在唯一一个 λ∈R，使a＝λ b 。② 共面向量定理：若两个向量 a、b 不共线，则向量 p 与向量 a，b 共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使 p＝x a ＋ y b 。③ 空间向量基本定理：如果三个向量 a、b、c 不共面，那么对空间任一向量 p，存在一个唯一的有序实数组{x，y，z}，使得 p＝x a ＋ y b ＋ z c 。2．两个向量的数量积(1)非零向量 a，b 的数量积 a·b＝|a||b|cos〈a，b〉。(2)空间向量数量积的运算律① 结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；② 交换律：a·b＝b·a；③ 分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c。3．空间向量的坐标表示及其应用设 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，向量表示坐标表示数量积a·ba1b1＋ a 2b2＋ a 3b3共线a＝λb(b≠0)a1＝ λb 1， a 2＝ λb 2， a 3＝ λb 3垂直a·b＝0(a≠0，b≠0)a1b1＋ a 2b2＋ a 3b3＝ 0 模|a|夹角〈a，b〉(a≠0，b≠0)cos〈a，b〉＝4.向量法证明平行与垂直(1)两个重要向量① 直线的方向向量直线的方向向量是指和这条直线平行(或重合)的非零向量，一条直线的方向向量有无数个。② 平面的法向量直线 l⊥平面 α，取直线 l 的方向向量，则这个向量叫做平面 α 的法向量。显然一个平面的法向量有无数个，它们是共线向量。(2)空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线 l1，l2的方向向量分别为 n1，n2l1∥l2n1∥n2⇔n1＝λn2l1⊥l2n1⊥n2⇔n1·n2＝0直线 l 的方向向量为 n，平面 α 的法向量为 ml∥αn⊥m⇔m·n＝0l⊥αn∥m⇔n＝λm平面 α、β 的法向量分别为 n、mα∥βn∥m⇔n＝λmα⊥βn⊥m⇔n·m＝01．向量三点共线定理在平面中 A，B，C 三点共线的充要条件是：OA＝xOB＋yOC(其中 x＋y＝1)，O 为平面内任意一点。2．向量四点共面定理在空间中 P，A，B，C 四点共面的充要条件是：OP＝xOA＋yOB＋zOC(其中 x＋y＋z＝1)，O 为空间中任意一点。一、走进教材1．(选修 2－1P97A 组 T2改编)如图，平行六面体...