第三节 平面向量的数量积与平面向量应用举例[最新考纲] 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．1．向量的夹角已知两个非零向量 a 和 b，作OA＝a，OB＝b，则∠ AOB 就是向量 a 与 b 的夹角，向量夹角的范围是：[0 ， π] ．2．平面向量的数量积定义设两个非零向量 a，b 的夹角为 θ，则数量| a || b |·cos θ 叫做 a 与 b 的数量积，记作 a·b投影| a |cos θ 叫做向量 a 在 b 方向上的投影，| b |cos θ 叫做向量 b 在 a 方向上的投影几何意义数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影| b |cos θ 的乘积3.平面向量数量积的运算律(1)交换律：a·b＝b·a；(2)数乘结合律：(λa)·b＝λ ( a · b ) ＝a ·( λ b ) ；(3)分配律：a·(b＋c)＝a · b ＋ a · c .4．平面向量数量积的性质及其坐标表示设非零向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ＝〈a，b〉．结论几何表示坐标表示模|a|＝|a|＝数量积a·b＝|a||b|cos θa·b＝x1x2＋y1y2夹角cos θ＝cos θ＝a⊥ba·b＝0x1x2＋ y 1y2＝ 0 |a·b|与|a||b|的关系|a·b|≤|a||b||x1x2＋y1y2|≤·[常用结论]1．平面向量数量积运算的常用公式(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.2．两个向量 a，b 的夹角为锐角⇔a·b ＞ 0 且 a ， b 不共线 ；两个向量 a，b 的夹角为钝角⇔a·b ＜ 0 且 a ， b 不共线 ．一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个向量的数量积是一个实数，向量的数乘运算的运算结果是向量．( )(2)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．( )(3)由 a·b＝0 可得 a＝0 或 b＝0.( )(4)(a·b)c＝a(b·c)．( )[答案](1)√ (2)√ (3)× (4)×二、教材改编1．已知 a·b＝－12，|a|＝4，a 和 b 的夹角为 135°，则|b|为( )A．12 B．6C．3 D．3B [a·b＝|a||b|cos 135°＝－12，所以|b|＝＝6.]2．已知|a|＝5，|b|＝4，a 与 b 的夹角 θ＝120°，则向量 b 在向量 a 方向上的投影为 ．－2 [由数量积的定义知，b 在 a 方向上...
