椭圆经典精讲-例题-详细答案

椭圆经典精讲 1、基本概念、基本图形、基本性质题 1、题面：集合的关系可表述为（ ）.A. B. C. ∩B = Ø答案：D. 变式一题面：设双曲线的左，右焦点为 F1，F2，左，右顶点为 M，N，若△PF1F2的一个顶点 P 在双曲线上，则△PF1F2的内切圆与边 F1F2的切点的位置是( )A．在线段 MN 的内部B．在线段 F1M 的内部或 NF2内部C．点 N 或点 MD．以上三种情况都有可能答案：C.详解： 若 P 在右支上，并设内切圆与 PF1，PF2 的切点分别为 A，B，则|NF1|－|NF2|＝|PF1|－|PF2|＝(|PA|＋|AF1|)－(|PB|＋|BF2|)＝|AF1|－|BF2|.所以 N 为切点，同理 P 在左支上时，M 为切点．变式二题面：若直线 mx＋ny＝4 和圆 O：x2＋y2＝4 没有交点，则过点(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数为( )A．至多 1 个 B．2 个C．1 个 D．0 个答案：B.详解：由题意得＞2，即 m2＋n2＜4，则点(m，n)在以原点为圆心，以 2 为半径的圆内，此圆在椭圆＋＝1 的内部．题 2、题面：如图，倾斜圆柱形容器，液面的边界近似一个椭圆。若容器底面与桌面成角为，则这个椭圆的离心率是 。答案：解题步骤： 由图，短轴就是内径，长轴为，即：，.变式一题面：已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的两顶点为 A(a,0)，B(0，b)，且左焦点为 F，△FAB 是以角 B 为直角的直角三角形，则椭圆的离心率 e 为( ) 答案：B.详解： 由题意得 a2＋b2＋a2＝(a＋c)2，即 c2＋ac－a2＝0，即 e2＋e－1＝0，解得 e＝.又 e＞0，故所求的椭圆的离心率为.变式二题面：(2025·新课标全国卷)设 F1，F2是椭圆 E：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，P 为直线 x＝上一点，△F2PF1是底角为 30°的等腰三角形，则 E 的离心率为( ) 答案：C.详解： 由题意可得|PF2|＝|F1F2|，∴2＝2c，∴3a＝4c，∴e＝.题 3、题面：椭圆与圆 的公共点个数是 。答案：1.变式一题面：已知椭圆 C1：＋＝1(a1＞b1＞0)和椭圆 C2：＋＝1(a2＞b2＞0)的焦点相同且 a1＞a2.给出如下四个结论：① 椭圆 C1和椭圆 C2一定没有公共点；② a－a＝b－b；③＞；④ a1－a2＜b1－b2.其中，所有正确结论的序号是( )A．②③④ B．①③④C．①②④ D．①②③答案：C.详解： 由已知条件可得 a－b＝a－b，可得 a－a＝b－b，而 a1＞a2，可知两椭圆无公共点，即①正确；又 a－a＝b－b，知②正确；由 a－b＝a－b，可得 a＋b＝b＋a，则a1b2，a2b1的大小关系不确定，＞不正确，即③不正确； a...