第 7 讲 点差法公式在椭圆中点弦问题中的妙用定理 在椭圆(>>0)中,若直线 与椭圆相交于 M、N 两点,点是弦 MN 的中点,弦 MN 所在的直线 的斜率为,则. 证明:设 M、N 两点的坐标分别为、,则有,得又同理可证,在椭圆(>>0)中,若直线 与椭圆相交于 M、N 两点,点是弦 MN 的中点,弦 MN 所在的直线 的斜率为,则.典题妙解例 1 设椭圆方程为,过点的直线 交椭圆于点 A、B,O 为坐标原点,点 P 满足, 点 N 的 坐 标 为. 当 绕点 M 旋转时,求:(1)动点 P 的轨迹方程;(2)的最大值和最小值.解:(1)设动点 P 的坐标为.由平行四边形法则可知:点 P 是弦 AB 的中点 .焦点在 y 上, 假设直线 的斜率存在.由得:整理,得:当直线 的斜率不存在时,弦 AB 的中点 P 为坐标原点,也满足方程。所求的轨迹方程为(2)配方,得:当时,;当时,例 2 在直角坐标系中,经过点且斜率为的直线 与椭圆有两个不同的交点 P 和 Q.(1)求的取值范围;(2)设椭圆与轴正半轴、轴正半轴的交点分别为 A、B,是否存在常数,使得向量与共线?假如存在,求的取值范围;假如不存在,请说明理由.解:(1)直线 的方程为由得:直线 与椭圆有两个不同的交点,>0.解之得:<或>.的取值范围是.(2)在椭圆中,焦点在轴上,,设弦 PQ 的中点为,则由平行四边形法则可知:与共线,与共线.,从而由得:,由(1)可知时,直线 与椭圆没有两个公共点,不存在符合题意的常数.例 3 已知椭圆(>>0)的左、右焦点分别为、,离心率,右准线方程为.(Ⅰ) 求椭圆的标准方程;(Ⅱ) 过点的直线 与该椭圆相交于 M、N 两点,且,求直线 的方程.解:(Ⅰ)根据题意,得.所求的椭圆方程为.(Ⅱ)椭圆的焦点为、. 设直线 被椭圆所截的弦 MN 的中点为.由平行四边形法则知:.由得:.……………①若直线 的斜率不存在,则轴,这时点 P 与重合,,与题设相矛盾,故直线 的斜率存在.由得: ………②② 代入①,得整理,得:.解之得:,或.由②可知,不合题意.,从而.所求的直线 方程为,或.例 4 已知椭圆(>>0)的离心率为,过右焦点 F 的直线 与 C 相交于A、B 两点. 当 的斜率为 1 时,坐标原点 O 到 的距离为.(1)求的值;(2)C 上是否存在点 P,使得当 绕 F 转到某一位置时,有成立?若存在,求出所有点 P 的坐标与 的方程;若不存在,说明理由.解:(1)椭圆的右...