第 7 讲 点差法公式在椭圆中点弦问题中的妙用定理 在椭圆（＞＞0）中，若直线 与椭圆相交于 M、N 两点，点是弦 MN 的中点，弦 MN 所在的直线 的斜率为，则
证明：设 M、N 两点的坐标分别为、，则有，得又同理可证，在椭圆（＞＞0）中，若直线 与椭圆相交于 M、N 两点，点是弦 MN 的中点，弦 MN 所在的直线 的斜率为，则
典题妙解例 1 设椭圆方程为，过点的直线 交椭圆于点 A、B，O 为坐标原点，点 P 满足， 点 N 的 坐 标 为
当 绕点 M 旋转时，求：（1）动点 P 的轨迹方程；（2）的最大值和最小值
解：（1）设动点 P 的坐标为
由平行四边形法则可知：点 P 是弦 AB 的中点
焦点在 y 上， 假设直线 的斜率存在
由得：整理，得：当直线 的斜率不存在时，弦 AB 的中点 P 为坐标原点，也满足方程
所求的轨迹方程为（2）配方，得：当时，；当时，例 2 在直角坐标系中，经过点且斜率为的直线 与椭圆有两个不同的交点 P 和 Q
（1）求的取值范围；（2）设椭圆与轴正半轴、轴正半轴的交点分别为 A、B，是否存在常数，使得向量与共线
假如存在，求的取值范围；假如不存在，请说明理由
解：（1）直线 的方程为由得：直线 与椭圆有两个不同的交点，＞0
解之得：＜或＞
的取值范围是
（2）在椭圆中，焦点在轴上，，设弦 PQ 的中点为，则由平行四边形法则可知：与共线，与共线
，从而由得：，由（1）可知时，直线 与椭圆没有两个公共点，不存在符合题意的常数
例 3 已知椭圆（＞＞0）的左、右焦点分别为、，离心率，右准线方程为
(Ⅰ) 求椭圆的标准方程；(Ⅱ) 过点的直线 与该椭圆相交于 M、N 两点，且，求直线 的方程
解：（Ⅰ）根据题意，得
所求的椭圆方程为
（Ⅱ）椭圆的焦点为、
设直线 被椭圆所截的弦 MN 的中点为
由平行四边形法则知：
